Grupper der Ordnung 56 auflösbar

21.08.2013, 13:11	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Grupper der Ordnung 56 auflösbar Meine Frage: Hallo Leute, ich habe eine Frage zum Beweis, dass die Gruppe der Ordnung 56 auflösbar ist. Sei $\begin{eqnarray} \|G\| = 56 = 2^3 \cdot 7 \end{eqnarray}$ Unser Prof. geht den Beweis dann über die 7 - Sylow - Untergruppen. Es gilt aber dann: \|Syl_7(g)\| \in \left\{ 1,8\right\} [/l] Und man muss zwei Fälle Unterscheiden, wobei beide nicht schwierig sind. Wenn man sich aber direkt die 8 - Sylow - Untergruppen ansieht geht es doch viel schneller. Denn: $\begin{eqnarray} \|Syl_8(G)\| \equiv 1 mod 8 \in \left\{ 1,9,17,...\right\} \end{eqnarray}$ und: $\begin{eqnarray} \|Syl_7(G)\| \| 7 \end{eqnarray}$ Also kann nur: $\begin{eqnarray} \|Syl_7(G)\| = 1 \end{eqnarray}$ gelten. Sei $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ diese Untergruppe, dann gilt: $\begin{eqnarray} P \trianglelefteq G \end{eqnarray}$ dieser hat Primzahlordnung, also ist er zyklisch, also abelsch, also auflösbar. $\begin{eqnarray} \|G/P \| = 2^3 \end{eqnarray}$ also ist die Ordnung von der Form: $\begin{eqnarray} p^n \end{eqnarray}$ mit Primzahl p, wonach $\begin{eqnarray} G/P \end{eqnarray}$ dann ebenfalls auflösbar ist. Nach einem Satz aus der Vorlesung ist dann auch: $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ auflösbar. Ich frage mich jetzt, warum der Prof. die 7 - Sylow Untergruppen betrachtet, obwohl es mit den 8 - Sylow - Untergruppen viel einfacher geht. Oder ist mein Beweis falsch? Meine Ideen: Danke für die Hilfe!
21.08.2013, 15:59	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zunächst gibt es nur p-Sylow-Gruppen. Das heißt eine 2-Sylow-Gruppe von G hat Ordnung 8. Wenn du die 2-Sylow-Gruppe betrachtest, dann sagt dir der Satz von Sylow, dass wenn $\begin{eqnarray} Syl_2(G) \end{eqnarray}$ die Menge der 2-Sylow-Gruppen $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ von G bezeichnet, $\begin{eqnarray} \|Syl_2(G) \| \ \Bigg\vert \ \frac{\|G\|}{\|P_2\|}=\frac{56}{8}=7 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|Syl_2(G) \| \equiv 1 \mod 2 \end{eqnarray}$ . Demnach kann es 1 oder 7 2-Sylow-Gruppen geben. Wenn es nun 7 sind, weißt du nicht wie deren Scnitte aussehen (aslo wird das Elemente zählen schwierig). Welche Aussagen möchtest du dann treffen? Wenn es nur eine 2-Sylow-Gruppe $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ gibt, ist $\begin{eqnarray} P_2 \triangleleft G \end{eqnarray}$ . Weiter wäre dann, da $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ eine p-Gruppe ist, $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G/P_2 \end{eqnarray}$ auflösbar, weil $\begin{eqnarray} G/P_2 \end{eqnarray}$ abelsch ist. Also wäre dann auch $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ auflösbar. Aber wie gesagt, du kannst nicht genau sagen wie groß $\begin{eqnarray} \|Syl_2(G)\| \end{eqnarray}$ . Also ist die Betrachtung der 7-Sylow-Gruppen besser.
21.08.2013, 20:35	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
oh we, da habe ich was durcheinander gebracht! Nur noch eine Frage, dass ich nicht weiß, wie der Schnitt aussieht, liegt daran, dass ich: $\begin{eqnarray} P_i \cap P_j \leq P_i \end{eqnarray}$ (und auch Untergruppe von $\begin{eqnarray} P_j \end{eqnarray}$ ) Es ist aber $\begin{eqnarray} \|P_i\| = 8 \end{eqnarray}$ Nun gibt es aber die Teiler, 1,2,4,8, also kann ich nicht wirklich sagen, wie der Schnit aussieht. Ich kann nur sagen, dass ich 8 ausschließen kann, sonst hätte ich eine zusätzliche 2 Sylowuntergruppe gefunden. Und deshalb gehe ich den ganzen Weg über die 7 - Sylowuntergruppen
21.08.2013, 22:17	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, bei den 7-Sylow-Gruppen weißt du, dass der Schnitt trivial sein mus, da sie zyklisch mit Primzahlordnung sind. LG

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