Zerfällungskörper und Galoisgruppe bestimmen

22.08.2013, 09:38

steviehawk

Zerfällungskörper und Galoisgruppe bestimmen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne von folgendem Polynom den Zerfällungskörper und die Galoisgruppe bestimmen. Der grobe Weg ist mir klar, ich habe nur das erste Problem bereits beim finden aller Nullstellen.

Es ist: $\begin{eqnarray*} f(X) = X^6 + X^3 + 1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich habe zunächst eine Substitution gemacht:

$\begin{eqnarray*} X^3 = u \end{eqnarray*}$ so erhalte ich: $\begin{eqnarray*} u^2 + u +1 \end{eqnarray*}$ und die Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} u_{1,2} \frac{-1}{2} \pm \sqrt{\frac{-3}{4}} = \frac{-1}{2} \pm \frac{i \sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ (das sind doch zwei von den 3 Dritten Einheitswurzeln - hilft mir das? )

und nach der Rücksubstitution habe ich dann:

$\begin{eqnarray*} x_i = \sqrt[3]{ \frac{-1}{2} \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}} \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich nicht, wie ich da weiter mache, bzw. wie meine Nullstellen aussehen, was fange ich mit der 3 Wurzel an?

Danke für die Hilfe.

22.08.2013, 10:15

watcher

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Guten morgen,

wie du schon richtig festgestellt hast sind die primtiven 3.EW Lösungen $\begin{eqnarray*} \xi_3, \xi_3^2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X^2+X+1 \end{eqnarray*}$ . Nicht sonderlich überraschend, es ist ja das 3. Kreisteilungspolynom.
Die NST von f sind also die Lösungen von $\begin{eqnarray*} X^3=\xi_3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} X^3=\xi_3^2 \end{eqnarray*}$ .
Wie sehen die aus? (Und einfach 'ne Wurzel drüber ziehen funktioniert bei komplexen Zahlen nicht.)

Oder man weiß einfach auswendig, dass f ein Kreisteilunspolynom ist.
Damit sollte die Galoisgruppe klar sein.

22.08.2013, 20:51

steviehawk

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Zitat:

Original von watcher
Die NST von f sind also die Lösungen von $\begin{eqnarray*} X^3=\xi_3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} X^3=\xi_3^2 \end{eqnarray*}$ .
Wie sehen die aus? (Und einfach 'ne Wurzel drüber ziehen funktioniert bei komplexen Zahlen nicht.)

weiß ich leider nicht, wie die aussehen..

Wenn ich gesehen hätte, das f ein Kreisteilungspolynom ist, dann ist alles klar!

23.08.2013, 07:42

tmo

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Wenn die dritte Potenz einer Zahl eine dritte Einheitswurzel ist.

Was ist dann die neunte Potenz dieser Zahl?

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