Urbild-Kompaktheit

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Mathebeauty Auf diesen Beitrag antworten »
Urbild-Kompaktheit
Meine Frage:
Gegeben sei eine Abbildung mit , wobei beliebig.
Es ist nun zu zeigen, dass das Urbild einer Kompakten Menge wieder kompakt ist. D.h. ist kompakt

Meine Ideen:
Ich habe dies in einem Paper gelesen, und benötige für meinen weiteren Beweis unbedingt die Kompaktheit des Urbildes. Allerdings kann das so nicht richtig sein, denn man kann sofort ein Gegensbeispiel finden:
Mit gilt und dies ist gerade nicht kompakt, da in der zweiten Komponente die 0 nicht enthalten ist.

Ich muss also irgendwie den Bild- oder den Definitionsbereich ändern.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urbild-Kompaktheit
Und was ist nun deine Frage?
Möchtest du wissen, unter welchen Restriktionen an Bild/Urbild die Aussage gilt?

Aber worum geht es hier eigentlich? Was war denn die Aussage, die du in einem Paper gelesen hast?
Mathebeauty Auf diesen Beitrag antworten »

In den Paper steht, dass für die obige Abbildung f gilt ist kompakt für K kompakt auf .

Das ist leider nicht richtig, und macht irgendwie auch keinen Sinn, da K eigentlich aus kommen muss.


Die Frage also: Was muss ich an dem Bild- oder dem Definitionsbereich ändern, damit die Aussage ist kompakt für K kompakt gilt.

Edit: LaTeX-Tags korrigiert. Vorschau verwenden! Gruß, Reksilat.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich das Paper mal sehen? verwirrt
Vielleicht war ja gemeint, dass die Abbildung kompakte Menge auf kompakte Mengen abbildet (was ja klar wäre).

Jedenfalls könntest eines der linken Intervallenden im Definitionsbereich von Null auf erhöhen.
Mathebeauty Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar.

http://www.sciencedirect.com/science/art...304414989900902

Hier kann man das Paper kostenlos downloaden. Die entsprechende Stelle befindet sich auf s. 242 ganz unten, gleich zu Beginn des Beweises zu Theorem 2.3


Danke, dass du dir das anschaust =)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, da kann ich leider nicht erkennen, wo er welche Kompaktheit braucht (für diese Proposition 3.18?)...
Aber mich wundert auch, dass "in " erst nach dem zweiten "compact" steht, als solle eine Teilmenge davon sein.
Wäre es vielleicht wirklich möglich, dass statt gemeint ist?
 
 
Mathebeauty Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube nicht, dass hier kompakt gemeint ist. Ich schreib dir mal Proposition 3.18 auf:

Suppose that are two spaces which are locally compact with countable bases.
Suppose is continuous and satisfies

(3.15) is compact in E for every compact K' in E'.

Then defined by



is continuous.

Note restricted to is of the form

(3.16)

so that a continuous function on the points which also satisfies (3.15) induces a continuous function on the point measures.


Für den Beweis von Theorem 2.3 benötige ich eigentlich genau (3.16), aber dazu müsste ja der Definitionsbereich eigentlich sein und nicht . Oder seh ich das falsch?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kann ich mir auch nicht erklären, was da gemeint sein soll [attach]24103[/attach]
Kannst du noch andere Quellen hinzuziehen oder warst du auf dieses Paper angewiesen?
Mathebeauty Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, bin leider auf dieses Paper angewiesen.

Oder meinst du dass einfach nur kompakt ist, das würde ja stimmen, aber dann brauche ich Prop 3.18 garnicht??
Mathebeauty Auf diesen Beitrag antworten »

Aber, ich glaube nicht, dass der Beweis dann noch stimmt, denn die Konvergenz in Verteilung kann ich dann nicht so einfach folgern Hammer
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst du dich leider an jemand anderes wenden...
Für das so definierte ist jedenfalls für kein kompaktes kompakt (mal abgesehen von der leeren Menge).
Mathebeauty Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub, ich schreib einfach mal die Autoren an

Vielen Dank trotzdem =)
Frehmen Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der kompaktheit stimmt.

Es gilt

Diese Menge ist kompakt. Mann kann sich dann auch überlegen, dass urbilder von allen Kompakta kompakt sind
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Für ist dieses Tupel aber leider nicht im Definitionsbereich.
Frehmen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Für ist dieses Tupel aber leider nicht im Definitionsbereich.


Stimmt. Vielleicht hilfts ja, dass die Urbilder kompakt bezüglich der Spur-Topologie sind.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollten die damit kompakt sein?
Frehmen Auf diesen Beitrag antworten »

sind sie nicht - mein fehler
Mathebeauty Auf diesen Beitrag antworten »
weitere Frage
Hi, ich hab noch mal eine weitere Frage für das Verständnis der Kompaktheit. Ich muss wohl irgendwie einen Denkfehler haben.

Ich habe eine Abbildung mit
so soll kompakt in sein für .

Wähle ich mir nun ein kompaktes , z.B. dann ist doch aber und das ist doch nicht kompakt.

Irgendwas muss ich wohl nicht richtig verstanden haben unglücklich

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn Ihr mir das mal erklären könntet.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: weitere Frage
Diesmal stimmt die Behauptung sogar Augenzwinkern
Dein Fehler liegt hier:
Zitat:
Original von Mathebeauty
Wähle ich mir nun ein kompaktes , z.B. dann ist doch aber
Mathebeauty Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du das noch etwas genauer erläutern?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das Urbild von ist kein offenes Rechteck.
Erinner dich an Geradengleichungen.
Mathebeauty Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie steh ich grad aufm Schlauch verwirrt

Gilt so ist doch

Oder ist das falsch? Wieso ? Hä? traurig
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre das Urbild von Eins ein Rechteck, dann hieße das, man könnte festhalten und nur verändern, ohne dass sich der Bildwert ändert.

Oder setz doch mal ein.
Ist wirklich für alle erfüllt? Z.B. für ?
Mathebeauty Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, klar. Ich hab das falsch aufgeschrieben. Richtig wäre dann ja:



Aber wieso ist diese Menge denn nun kompakt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt: Erinner dich an Geradengleichungen.
Beachte auch, dass kompakt ist.
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