Adjunktion einer Unbstimmten

22.08.2013, 16:00

steviehawk

Adjunktion einer Unbstimmten

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne folgendes verstehen:

"Jede Körpererweiterung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat endlichen Grad. Falsch, zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} [\mathbb R(X) : \mathbb R ] = \infty \end{eqnarray*}$ mit einer Unsbestimmten X "

Also mir ist nicht wirklich klar, was es bedeutet eine Unbestimmte zu adjungieren und wie sich dann der Erweiterungskörper verhält, bzw was ich da aussagen kann, und wieso das obige folgt.

Kann da jemand klarheit schaffen?

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!

22.08.2013, 16:24

ollie3

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RE: Adjunktion einer Unbstimmten
hallo,
R(X) ist doch die menge aller polynome mit reellen koeffizienten. Da die polynome
einen beliebig hohen grad haben können (und man ein polynom n-ten grades
mit dem (n+1)tupel seiner koeffizienten identifizieren kann), muss doch in diesem
fall der grad der erweiterung unendlich sein...
gruss ollie3

22.08.2013, 16:34

steviehawk

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RE: Adjunktion einer Unbstimmten
Alles klar, vielen Dank oliie Freude

22.08.2013, 16:37

watcher

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Zitat:

R(X) ist doch die menge aller polynome mit reellen koeffizienten.

Nein, ist es nicht.
$\begin{eqnarray*} \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten und ein Ring aber kein Körper.
$\begin{eqnarray*} \mathbb R(X)=Quot(\mathbb R[X]) \end{eqnarray*}$ ist ein Körper.
Dort ist z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{X} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{X^2+7}{X^5-8X+3} \end{eqnarray*}$ enthalten.

22.08.2013, 20:49

steviehawk

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okay zu früh gefreut, ich dachte jetzt irgendwie weil ich eine unbestimmte adjungiere könnte ich das mit dem Polynomring identifizieren, aber dann habe ich ja wirklich kein Körper..

Sind den Quotientenkörper immer unendlich dimensional?

23.08.2013, 07:45

tmo

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Du machst dir hier ein Problem, wo keines ist.

Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R(X) \supset \mathbb R[X] \supset \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Insbesondere ist die reelle Vektorraumdimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb R(X) \end{eqnarray*}$ größer als die des Polynomrings...

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