Konvergenz Jacobi-(Gesamtschritt)-Verfahren

22.08.2013, 17:01	euklidis	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Jacobi-(Gesamtschritt)-Verfahren Hallo, ich habe mal eine Frage zum Jacobi Verfahren und zwar: $\begin{eqnarray} A:= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 5 \\ 0 & 7 & 1 \end{pmatrix} ; b:= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} x_{0} := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt weiß man ja noch nicht gleich, ob das Verfahren konvergiert, da A nicht diagonaldominant ist. Für die Verfahrensmatrix gilt dann: $\begin{eqnarray} M := -D^{-1}(L+U) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -7 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ M hat Spektralradius 0 und damit konvergiert die Iteration: $\begin{eqnarray} x_{n+1} := Mx_{n} + D^{-1}b \end{eqnarray}$ Gegen die Lösung: $\begin{eqnarray} x^{} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1/8 \\ 1/8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber wenn man das nachrechnet kommt sieht man das es divergiert so ist schon $\begin{eqnarray} x_{8} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4502 \\ 6903 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wo ist jetzt mein Fehler? Danke
22.08.2013, 20:16	Frehmen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo euklidis Der spektralradius ist nicht null. Das erklärt die Divergenz der Iteration
22.08.2013, 23:42	euklidis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, also ich komme beim charakteristischen Polynom auf $\begin{eqnarray} Det(M-\lambda E) = -\lambda (\lambda ^{2} + 7) \end{eqnarray}$ demnach ist der Spektralradius 0?! Was hattest du raus? Lg
23.08.2013, 00:05	Frehmen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Char. polynom stimmt, die Eigenwerte sind somit $\begin{eqnarray} $\sigma(M)=\{0,-\sqrt{7}i,\sqrt{7}i\}$ \end{eqnarray}$ . Was ist dann der Spektralradius?
23.08.2013, 09:56	euklidis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, tausend Dank, ich dachte es zählen nur die reelen Eigenwerte. Lg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »