Prinzip! Stetigkeit

23.08.2013, 02:12

static

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Stetigkeit

Meine Frage:
Hallo leute ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen stetig sind! Überprüfen Sie jeweils, ob die Funktionen stetig
auf ganz R fortsetzbar sind!

Wie gehe ich hier vor?

Meine Ideen:
keine

23.08.2013, 02:14

Frehmen

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Weißt du, ob der Zähler stetige Funktion von $\begin{eqnarray*} $x$ \end{eqnarray*}$ ist?

23.08.2013, 02:16

static

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Ich habe deine frage nicht ganz verstanden .

Was meinst du genau?

23.08.2013, 02:18

Frehmen

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Du kannst die Funktion $\begin{eqnarray*} $f$ \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)},\ z(x)=(x^2-9)(4-x^2),\ n(x)=x^2+x-6$ \end{eqnarray*}$ (Zähler- und nennerfunktion).
Ist $\begin{eqnarray*} $z(x)$ \end{eqnarray*}$ stetig?

23.08.2013, 02:25

static

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z(x) ist eine quadratische Funktion.

Und die sind immer stetig oder?

23.08.2013, 02:55

Frehmen

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Genau. Allgemein sind polynome stetig. Der Nenner ist auch ein polynom und damit auch stetig. Ist nun automatisch auch die division der beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} $z(x)/n(x)$ \end{eqnarray*}$ stetig?

Nein: Gegenbeispiel - die Funktion $\begin{eqnarray*} $z(x)=1$ \end{eqnarray*}$ ist stetig und die Funktion $\begin{eqnarray*} $n(x)=x$ \end{eqnarray*}$ auch, aber die division $\begin{eqnarray*} $f(x)=z(x)/n(x)=1/x$ \end{eqnarray*}$ ist nicht stetig. Warum?

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23.08.2013, 03:00

static

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Weil oben im Zähler eine 1 steht oder ?

Aber wie gehe ich bei meiner Aufgabe weiter vor?

23.08.2013, 03:07

Frehmen

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Die 1 oben ist nicht das Problem, sondern der nenner. Der hat eine Nullstelle und dort wird $\begin{eqnarray*} $f$ \end{eqnarray*}$ sehr groß, was probleme mit der stetigkeit macht

Für deine Problemstellung heißt das, du solltest dir die Nullstellen des Nennerpolynoms berechnen. Die $\begin{eqnarray*} $x$ \end{eqnarray*}$ die dort rauskommen sind deine "potentiellen unstetigkeitsstellen"

23.08.2013, 03:12

Nofeykx

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Irgendwie seit ihr hier beide sehr unpräzise. Zu einer Funktion gehört nunmal auch ein Definitionsbereich. Der wurde hier nicht angegeben. Der größtmögliche Definitionsbereich(der innerhalb von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt), den man der Abbildungsvorschrift $\begin{eqnarray*} x\mapsto\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ zu Grunde legen kann, ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R\backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ und dort ist die so definierte Funktion natürlich auch stetig.

23.08.2013, 03:14

static

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Also die Nullstellen vom nenner liegen bei 3 und -2.

Was mache ich jetzt genau leute damit?

23.08.2013, 03:24

Frehmen

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Du kennst jetzt alle Stellen an denen Unstetigkeitsstellen auftreten könnten (3 und -2). Überall sonst ist das unmöglich.
Diese kritischen Punkte liegen nicht in dem Definitionsbereich. Was folgert man daraus?

23.08.2013, 03:27

static

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Daraus folgt das die Funktion stetig ist oder ?

Aber woher weiss ich ob sie fortsetzbar ist?

23.08.2013, 03:33

Frehmen

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Noteflix hat übrigens recht mit seinem Einwand. Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind tatsächlich lediglich punkte die dafür sorgen können, dass die funktion nicht stetig fortsetzbar ist.

23.08.2013, 03:35

static

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Meint ihr also damit , dass wenn eine Funktion nullstellen hat , ist sie nicht stetig fortsetzbar?

23.08.2013, 03:35

Frehmen

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Stetigkeit haben wir gezeigt. Für die Fortsetzbarkeit muss man sich die Funktion am Rand genauer ansehen.
Wie verhält sich die Funktion nahe bei $\begin{eqnarray*} $x=-2$ \end{eqnarray*}$ ?

23.08.2013, 03:40

Frehmen

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Zitat:

Original von static
Meint ihr also damit , dass wenn eine Funktion nullstellen hat , ist sie nicht stetig fortsetzbar?

Es geht um rationale Funktionen. Die funktion $\begin{eqnarray*} $f(x)=1/x$ \end{eqnarray*}$ ist von der dichten Teilmenge $\begin{eqnarray*} $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ \end{eqnarray*}$ nicht auf $\begin{eqnarray*} $\mathbb{R}$ \end{eqnarray*}$ fortsetzbar.

so ein verhalten kann nur bei den Nullstellen des Nennerpolynoms auftreten. Die frage ist nun: Tritt das selbe verhalten bei dem Randpunkt $\begin{eqnarray*} $x=-2$ \end{eqnarray*}$ auf?

23.08.2013, 03:53

opi

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Der Thread wird wieder einmal wie üblich bei diesem ratenden Fragesteller geschlossen.
Es ist bedauerlich, daß zwei Helfer unnötig Arbeit investiert haben.

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