Kleinste Dimension

23.08.2013, 10:38

vilsa17

Kleinste Dimension

Guten Morgen.

Was ist die kleinste Dimension des reellen Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2x3} \end{eqnarray*}$ ?

Ist es 6 mit z.B. diesen Basismatrizen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gibt es da einen Satz? Oder wie komme ich allgemein drauf?

Dankeschön smile

23.08.2013, 10:42

bijektion

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Ein Vektorraum hat nur eine Dimension. Findest du etwa in diesem Fall, z.B. fünf oder weniger Matrizen mit denen sich alle Elemte des Vektorraums mittels Matrizenaddition und Skalarmultiplikation darstellen lassen? smile

23.08.2013, 10:48

vilsa17

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Zitat:

Findest du etwa in diesem Fall, z.B. fünf oder weniger Matrizen mit denen sich alle Elemte des Vektorraums darstellen lassen?

Nein...
Die 6 sind alle linear unabhängig, also bilden sie auf jeden Fall eine Basis.
Geht es tatsächlich mit weniger Matrizen?

23.08.2013, 10:51

bijektion

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Nein es geht nicht mit weniger, du musst jetzt nur noch zeigen, dass sie auch den $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2 \times 3} \end{eqnarray*}$ aufspannen smile

23.08.2013, 11:13

vilsa17

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Dankeschön, bijektion smile

Das war keine konkrete Aufgabe, ich wollte es nur wissen für den Rangsatz.

Der lautet doch dim V = def(f) + rg(f)

Ist mit dim V jetzt die Zahl gemeint, die in unserem Beispiel der 6 entspricht?

23.08.2013, 11:23

bijektion

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Ja,

aber dann brauchst du natürlich erst noch eine Lineare Abbildung f smile

Du könntest natürlich sagen: Sei $\begin{eqnarray*} V =\mathbb R ^{2 \times 3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{2 \times 3} \to \mathbb R ^{2 \times 3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f = id_V \end{eqnarray*}$ . Dann könntest du den Rangsatz anwenden Augenzwinkern

23.08.2013, 11:38

vilsa17

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Super vielen Dank, bijektion smile

Eine Frage habe ich dazu noch:

Eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R ^{6x8} \end{eqnarray*}$ habe Rang 4 und eine Matrix $\begin{eqnarray*} B \in \mathbb R ^{4x8} \end{eqnarray*}$ Rang 2, was ist die kleinstmögliche Dimension des reellen Lösungsraums $\begin{eqnarray*} L(A,0) \cap L(B,0) \end{eqnarray*}$ ?

Ich habe nun mithilfe des Rangsatzes bestimmt, dass:

dim(Ker(A)) = 44 und dim(Ker(B)) = 30.

Jetzt weiß ich leider nicht, wie ich weitermachen soll.
Brauche ich nun die Dimensionsformel?
Meine Idee war einfach 44-30, aber das kann ich nicht begründen.

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