trivialer Homomorphismus

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
trivialer Homomorphismus
Meine Frage:
Hallo Leute,

Ich lese immer wieder: "Wenn der Homomorphismus trivial ist, dann ..."

was bedeutet es denn für eine Abbildung, dass sie trivial ist?

falls zu unausführlich, kann ich noch mehr dazu schreiben smile

Meine Ideen:
Danke!!!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: trivialer Homomorphismus
Das ist derjenige Homomorphismus, der alles auf das neutrale Element abbildet. Oder passt das nicht zu den Aussagen, in denen der Begriff auftaucht?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: trivialer Homomorphismus
Hallo Che,

doch das könnte passen.

Es geht um folgendes. Ich wollte zeigen, dass die Gruppe mit auflösbar ist.

Durch die Sylowsätze bekomme ich leider noch keinen Normalteiler, weil weder die Menge der 2-Sylowuntergruppen, noch die Menge der 3-Sylowuntergruppen muss 1 sein (dann hätte ich ja einen Normalteiler mit dem ich weiter argumentieren könnte).

Also musste ich mich auf die Suche nach weiteren Normalteiler machen. Wusste aber nicht wie. In der Lösung habe ich dann gelesen, dass es einen "nicht trivialen" Homomorphismus gibt:



das ist mir schon klar, da ja für jeden Primteiler transitiv auf der Menge der p - Sylowuntergruppen operiert.

Wenn dieser nun nicht trivial ist, dann gilt doch:

und wegen dem Homomorphiesatz gilt dann:



also muss:

Irgendwie bin ich mir hier noch unsicher, wie ich da argumentieren soll?

Danke schon mal!

EDIT:

Also ich bin noch etwas weiter gekommen.

Es ist ja:

ist auflösbar, also auch jede Untergruppe also auch , da es isomorph zum ist, was eine Untergruppe darstellt.

Es ist: und es muss

also: da zwei nicht sein kann, weil das Bild mindestens 3 sein muss, weil die 3 Sylowuntergruppen konjugiert sind.

Ich erhalte dann: dies sind aber beides Potenzen der Primzahl 2. Also ist der Kern auflösbar.

Und nach einem bekannten Satz ist dann auch G auflösbar!

so müsste es doch passen oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: trivialer Homomorphismus
Zitat:
Original von steviehawk

Ja, das ist äquivalent dazu, dass nicht alles auf das neutrale Element abgebildet wird.

Aus dem Rest der Algebra halte ich mich hier lieber raus bis ich endlich entsprechende Vorlesungen dazu gehört habe.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: trivialer Homomorphismus
Alles klar, Danke Che!

Dann hoffe ich mal, dass es sonst noch wer liest smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Argumentation passt so.

Vielleicht sollte man noch erwähnen, dass die Existenz dieses Homomorphismus auf der Annahme basiert, dass es 3 2-Sylowuntergruppen gibt.

Diese Annahme darf man natürlich treffen, weil sonst gäbe es ja sowieso einen Normalteiler mit 8 Elementen.
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tmo,

ja das ist klar, das man das dazu schreiben sollte, habe ich hier jetzt nicht nochmal alles erhwähnt.

Wo ich mir noch nicht ganz sicher bin ob ich das verstanden habe ist, dass das Bild mindestens Mächtigkeit 3 haben muss.

Muss das Bild also immer mindestens gerade die Mächtigkeite haben, so viele Sylowuntergruppen wie ich habe.

?

weil die Sylowgruppen konjugiert sind?

Kannst du mir das noch mal erklären?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Sind die p-Sylowuntergruppen, so gibt es zu jedem ein im Bild des Homomorphismus mit . Dies liefert einem offensichtlich mindestens Elemente im Bild.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
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