Einheiten im Ring

24.08.2013, 13:33

The_Flash

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Einheiten im Ring

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Aufgabe, bei der ich absolut nicht weiter komme und hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Die Frage lautet: Wieviele der Elemente des Ringes Z[X]/47,x²+1) sind Einheiten?

Meine Ideen:
Ich muss zugeben ich hab keine Ahnung wie ich da ran gehen soll. Mir ist klar was Einheiten sind und wie ich sie in einem "normalen" Ring bestimme. Meist über die Norm, oder es gibt Sätze zu Ringen-der-Ganzen-Zahlen, wo ich mir lediglich die ganze Zahl unter der Wurzel betrachte. Aber hier bin ich absolut planlos und hoffe, dass mir jemand hilft. Danke

24.08.2013, 14:10

Kurvenliebhaber

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Weißt du, was es bedeutet, ein Ideal aus einem Ring herauszuteilen?

Überlege dir, dass dein Ring nur endlich viele Elemente hat, wie diese aussehen und welche Beziehung zwischen ihnen gelten (aufgrund des herausgeteilten Ideals).

Fange am besten mit dem Element $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ an. Kommt dir dabei etwas bekannt vor?

24.08.2013, 16:06

The_Flash

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Hm, also bisher hat mir dein Tip noch nicht viel weiter geholfen. Klar ist mir, dass es nur endlich viele Elemente gibt. Ich denke das die Elemente alle von dem Ideal (47,x²+1) erzeugt wird, richtig ? Für mich heißt das, dass alle Kombinationsmöglichkeiten aus dem Ideal ein Element des Rings darstellt

Z.B. 47; x²+1 oder auch sowas wie 47x²+47, richtig ? Oder bin ich da auf einem falschen Dampfer ?

24.08.2013, 16:19

ollie3

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hallo,
falls kurvenliebhaber gerade nicht da ist, misch ich mich hier mal ein.
Also, du bist leider auf dem falschen dampfer. Es geht ja hier um quotientenringe.
Als vorübung: kannst du dir was unter Z/47Z und unter Z[X]/ (X^2+1) vorstellen?
gruss ollie3

24.08.2013, 16:33

Kurvenliebhaber

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Du kennst sicher den Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Darin rechnet man ja modulo $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} n=7 \end{eqnarray*}$ gilt dann beispielsweise 3+4=0 und 0+7=0. Für die Vorstellung denkt man sich einfach "7=0". Man biegt gewissermaßen die Zahlengerade zu einem Kreis, bei dem sich 0 und 7 überlappen (und damit auch 1 und 8, 2 und 9 etc).

Dieses Prinzip kann man auf beliebige Ringe verallgemeinern. Man braucht dafür nur einen Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und darin ein Ideal $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ . Dann rechnet man in dem Ring $\begin{eqnarray*} R/I \end{eqnarray*}$ "modulo $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ".

In deinem Fall sind es Polynome. Du nimmst also ein Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ und rechnest dann "modulo" $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ und gleichzeitig modulo " $\begin{eqnarray*} 47 \end{eqnarray*}$ ". Hier ist dann die Vorstellung $\begin{eqnarray*} "x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ " und " $\begin{eqnarray*} 47=0 \end{eqnarray*}$ ".

Analog dazu, dass der Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ nur 7 Elemente hat (weil man alle zahlen die "gleich" sind, als ein Element betrachtet), hat damit auch dein Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X]/(47,x^2+1) \end{eqnarray*}$ nur endlich viele Elemente.

Jetzt kannst du überlegen, wie die aussehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tipp: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] = (1,X) \end{eqnarray*}$

24.08.2013, 17:44

The_Flash

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Danke schonmal für die Antworten.
Also im Restklassenring rechnen ist mir bekannt.
Bei der Definition eines Ideals muss die 0 drin sein, was in jedem Restklassenring der Fall ist.
Weiter muss für 2 Restklassen die Differenz wieder im Restklassenring liegen, ist ebenfalls immer erfüllt für Z/nZ. Und drittens wenn ich eine Restklasse mit einem Skalar vervielfache muss es wieder in Z/nZ liegen, ebenfalls erfüllt.
Also ist ja beispielsweise Z/47Z die 47 ein Ideal, richtig ?

Weiter gehts:
Bzgl. Polynome: Also die Polynome in Z[x] sind ja alle ganzzahlig und ich mache quasi Division mit Rest, richtig ? Dabei teile ich das Polynom durch x²+1 und der Rest entspricht quasi meiner Restklasse modulo x²+1 so wie ich das verstehe. Jetzt kommt noch das mit dem Modulo 47 dazu. Bezieht sich das auf die Koeffizienten?
Ich meine damit wenn mein Polynom beispielsweise so aussehen würde:
48x²+54x-96 müsste ich einerseits modulo 47 rechnen also: x²+7x und anschließend dieses Polynom noch durch x²+1 teilen ? Bin ich auf dem richtigen Weg?

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24.08.2013, 17:48

The_Flash

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Was ich noch hinzufügen möchte. Also es geht ja um die Anzahl der Einheiten. Und in Z/pZ sofern p prim ist, hat der Restklassenring p Einheiten, weil er ja auch dann ein Körper ist. Und in meinem Fall ist 47 prim und somit existieren daher eventuell 47 Einheiten?

24.08.2013, 17:55

Kurvenliebhaber

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Zitat:

Bzgl. Polynome: Also die Polynome in Z[x] sind ja alle ganzzahlig und ich mache quasi Division mit Rest, richtig ? Dabei teile ich das Polynom durch x²+1 und der Rest entspricht quasi meiner Restklasse modulo x²+1 so wie ich das verstehe.

Genau.

Zitat:

Jetzt kommt noch das mit dem Modulo 47 dazu. Bezieht sich das auf die Koeffizienten? Ich meine damit wenn mein Polynom beispielsweise so aussehen würde:
48x²+54x-96 müsste ich einerseits modulo 47 rechnen also: x²+7x und anschließend dieses Polynom noch durch x²+1 teilen ? Bin ich auf dem richtigen Weg?

2x ja.

Wobei du überhaupt keine Polynomdivision brauchst, um dir zu überlegen, wie alle Elemente in deinem Ring aussehen, denn mit Hilfe der Formel x^2 = -1 kannst du alle x-Potenzen größergleich 2 "eliminieren". Du kannst also alle Polynom in deinem Ring als Polynome vom Grad null oder eins schreiben.

Weißt du nun, wie alle Elemente in dem Ring aussehen?

Edit: Also in Z/47Z gibt es 46 einheiten, und ja, das hilft dir auch hier. Doch was wären die 46 Elemente dazu in deinem Ring? Und du musst prüfen, ob es noch mehr gibt.

24.08.2013, 18:02

The_Flash

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Das ist ja schonmal gut das ich auf dem richtigen Dampfer bin .

Also so wie ich dich verstehe wird aus x³ beispielsweise -x nach deiner "Formel? Dementsprechend hab ich nur Elemente der Form -mx+n, mit n,m (0,...46) oder mx+n, oder einfach nur n wenn mein "Polynom" eine Konstante ist, richtig ?

24.08.2013, 18:07

Kurvenliebhaber

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Genau

Augenzwinkern

Und damit dürftest du nun einfach die Einheiten bestimmen können.

Wegen X^2 + 1 = 0 kann man sich übrigens das komplexe i anstelle von X vorstellen! Damit ist dein Ring also isomorph zu (Z/47Z)[i].

24.08.2013, 18:16

The_Flash

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Wenn mein Ring isomorph zu (Z/47Z)[i] dann würde ich sagen es gibt 2 Einheiten? Meine Begründung ist, dass man in Z[i] die Einheiten mithilfe der Norm bestimmt und ich denke, dass kann ich hier ja genauso machen, oder ?
Und weil i das gleiche ist wie Wurzel aus -1 müsste mein Ring doch das gleiche sein wie Z[wurzel -47] und die Norm eines solchen Elements wäre a²+47b²=1 und da gibts nur für a=+-1 und b=0 eine lösung, also 2 Einheiten?

24.08.2013, 18:21

Kurvenliebhaber

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Leider nicht. Du hast schon vorher richtig erkannt, dass es mindestens 46 Einheiten gibt.

Der springende Punkt ist: Eine Norm misst ja quasi einen "Abstand". In Z[i] ist das ok, weil es dir dort nicht passieren kann, dass das Produkt von zwei Elementen mit jeweils Norm größer als 1, auf einmal eine norm kleiner als 1 hat.

Diese Methode scheitert schon bei Z/7Z, denn nun macht ein Abstand keinen sinn mehr, da 0 und 7 das gleiche Element ist. Daher hat auch 7 "Abstand" null, wenn du es so willst.

Du musst dich also von den Normen ein wenig trennen für deine Aufgabe. Untersuche lieber die Definition einer Einheit, indem du nachrechnest, wann a*b= 1 sein kann in deinem Ring.

24.08.2013, 18:33

The_Flash

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Einheit bedeutet ja das es ein multiplikatives inverses gibt.

Hm... schwierig muss ich sagen^^. meine Elemente waren ja n bzw mx+n oder -mx+n und jetzt muss ich schauen ob es da multiplikative Inverse gibt. Wenn mein "Polynom" in Z[x] nur eine Konstante ist hab ich schonmal für jedes n ein multiplikatives Inverses weil ich ja Modulo 47 rechne und 47 prim, daher 46 Einheiten. Für beispielsweise mx+n weiß ich nicht genau wie ich mit dem x umgehen soll. Wenn ich mir jetzt nur die Koeffizieten m und n angucke, dann muss n immer das Inverse von m sein und umgekehrt damit 1 rauskommt. beispielsweise wenn n=6 muss m=8 sein weil 6*8=48=1 mod47. Muss ich das x mitberücksichtigen oder ist es grade das Argument das ich vlt deshalb gar keine Einheiten finde für mx+n?

24.08.2013, 18:37

Kurvenliebhaber

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Das mit dem -mx+n kannst du dir sparen, weil du (-m) durch Addition in Z/47Z zu einer positiven Konstante machen kannst.

Deine Elemente haben also die Form m*x+n mit m,n aus 0,...,46 und x^2 = -1 (diese Gleichung gilt auch nach dem Multiplizieren!)

Für das Produkt von zwei Elementen (also 4 Koeffizienten) bekommst du dann ein Gleichungssystem, das es zu lösen gilt.

24.08.2013, 18:45

The_Flash

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Nein tut mir leid, dann komm ich grade nicht mit.
Das musst du mir vlt nochmal bzw auf eine andere Weise erklären mit den Gleichungssystemen. Ich weiß gar nicht was meine Gleichungssystem sind muss ich zugeben.

24.08.2013, 18:50

Kurvenliebhaber

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Das Gl.system ergibt sich aus der Bedingung für eine Einheit: a*b=1, wobei a und b beides Elemente in deinem Ring sind (und auch 1).

Schreibe also zum Beispiel a:= m*x+n und b:= s*x+t mit m,n,s,t aus 0,...46.

Ausmultiplizieren, x^2 durch -1 ersetzen, dann bekommst du ein Gleichungssystem, bei dem du immer mod 47 Rechnen kannst und das es zu lösen gilt.

24.08.2013, 19:22

Kurvenliebhaber

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Eine hilfreiche Ergänzung:

Stell dir für die Rechnung vor, dass alle Koeffizienten m,n,s,t reelle Zahlen ungleich null wären (insbesondere haben alle Inverse). Außerdem gib dir a=m*x+n fest vor und errechne so ein mögliches Inverses b der Form s*x+t.

x^2 = -1 gilt natürlich weiterhin.

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