Minimalpolynom bestimmen

25.08.2013, 15:53

steviehawk

Minimalpolynom bestimmen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich hänge gerade am Minimalpolynom von:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} + \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ich bekomm ich die Terme einfach nicht weg, so dass alles in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ liegt..

Jemand eine Idee?

Meine Ideen:
Normal setze ich immer an:

$\begin{eqnarray*} \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ dann mal hoch2 oder hoch3 je nach dem, alles versucht, aber es will nicht.

Danke für die Hilfe

25.08.2013, 16:39

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ auflösen, dann in die dritte Potenz erheben und auspotenzieren. Summanden mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ isolieren, $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ausklammern, dann quadrieren. So findest du ein Polynom $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{Z}[x] \end{eqnarray*}$ , dessen Nullstelle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist.

26.08.2013, 13:49

steviehawk

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ahh ja das isolieren, daran habe ich nicht gedacht!

Das Polynom das ich jetzt habe, muss aber nicht das Minimalpolynom sein oder?
Es ist zwar normiert und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist Nullstelle davon, aber es muss nun auch noch irreduzibel sein oder?

Um das Minimalpolynom zu bestimmen, gehe ich eigentlich immer so vor wie jetzt, und irgendwie kommt da auch immer genau das Minimalpolynom raus, (obwohl ich ja immer noch testen muss ob es irred. ist.). Nehme mal an, dass das an unseren schönen Aufgaben liegt oder?

Danke!!!

26.08.2013, 14:34

ollie3

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hallo stevie,
doch, der vorschlag von leopold ist schon richtig, denn man kann sich schon vorher überlegen,
dass das min.polynom den grad 6 haben muss, denn der grad von Q(2^1/3, 3^1/2) über
Q ist ja auch 6, also kann es kein kleineres minimalpolynom geben...
gruss ollie3

26.08.2013, 14:45

steviehawk

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Hey Ollie,

ist schon klar!

Aber ich versuche ja den Körpergrad gerade über das Minimalpolynom zu bestimmen!

04.09.2013, 17:16

Halo

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Darf ich da kurz noch was zum Minimalpolynom nachfragen?

Also wenn ich den Wurzel 3 Teil isoliere und quadriere, erhalte ich

$\begin{eqnarray*} 27\alpha ^{2} +27 \end{eqnarray*}$

Wie gehts dann weiter?

04.09.2013, 17:41

Leopold

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Ich sehe keine Gleichung bei dir.

04.09.2013, 17:48

ollie3

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hallo,
dann gehen wir die sache mal durch:
$\begin{eqnarray*} \alpha - \sqrt[2]{3} = \sqrt[3]{2} <br /> (\alpha - \sqrt[2]{3})^3 =2 <br /> \alpha^3 - 3\alpha^2 \sqrt[2]{3}+9\alpha -3\sqrt[2]{3}=2 \end{eqnarray*}$
.... dann mach mal weiter...
gruss ollie3

04.09.2013, 17:51

Halo

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Ich verstehe da wohl was falsch:

Nach $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ auflösen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2}=\alpha- \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Dirtte Potenz erheben:
$\begin{eqnarray*} \alpha ^{3} +3\alpha ^{2} \sqrt[2]{3} + 9\alpha +3\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Isolieren, ausklammern, potenzieren
$\begin{eqnarray*} 3(9\alpha ^{4} +9\alpha ^{2} +9) \end{eqnarray*}$

Oder meinst du das nicht so?

04.09.2013, 17:57

Leopold

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Zitat:

Original von Halo
$\begin{eqnarray*} \color{blue} \sqrt[3]{2}=\alpha- \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Dirtte Potenz erheben:
$\begin{eqnarray*} \color{red} \alpha ^{3} +3\alpha ^{2} \sqrt[2]{3} + 9\alpha +3\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Isolieren, ausklammern, potenzieren
$\begin{eqnarray*} \color{red} 3(9\alpha ^{4} +9\alpha ^{2} +9) \end{eqnarray*}$

Wo ist denn die Gleichung geblieben? Auf einmal sehe ich nur einsam in der Landschaft herumstehende Terme ...

04.09.2013, 18:04

Halo

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Ok, dann verstehe ich nicht so ganz was du mit Isolieren meinst.
$\begin{eqnarray*} \alpha ^{3}+9\alpha -\sqrt{3} (3\alpha ^{2} +3)= 2 \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt diesen ganzen Term quadrieren?

04.09.2013, 18:13

Leopold

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Nein. Erst den Summanden mit der Wurzel isolieren, dann quadrieren.

04.09.2013, 18:41

Halo

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Was meinst du mit Isolieren?

$\begin{eqnarray*} 3\alpha ^{2} +3 \end{eqnarray*}$

quadrieren?

04.09.2013, 18:45

Halo

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Meine natürlich
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x3}( 3\alpha ^{2}+3) \end{eqnarray*}$
quadrieren?