Randdichte

25.08.2013, 18:52

blade22

Randdichte

Hallo,
ich habe Probleme mit der Berechnung folgender Randdichte.

Gegeben ist eine Dichte der Zufällsgrößsen x und y :

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=K*B(x,y) \end{eqnarray*}$

mit B(x,y)= 1 für (x,y) Element E und 0 für sonstige

$\begin{eqnarray*} E \in \mathbb R^2 | 0 < y < 1, y-2 < x < y \end{eqnarray*}$

Nach einer Skitze von E sieht man das K =0,5 sein muss da die gesamte Dichte =1 sein muss.

Der nächste Schritt wäre nun die Randdichten mit

(A) $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x,y) \, dy \end{eqnarray*}$

und

(B) $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x,y) \, dx \end{eqnarray*}$

zu bestimmen.

Für den Fall (A) würde das auf das triviale Integral $\begin{eqnarray*} \int_b^a \! \frac{1}{2} \, dy = \left[ \frac{1}{2} y\right]_{b}^{a} \end{eqnarray*}$ führen

Die Frage ist nun wie werden die Grenzen gewählt.
Klar ist das eine Fallunterscheidung nötig sein wird.

Grüße Blade

25.08.2013, 21:29

Leopold

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Also das ist schon sehr kryptisch. Du könntest dich ruhig etwas mehr anstrengen, richtige Angaben zu machen. Ich kann nur raten, was das bedeuten soll, vermutlich

$\begin{eqnarray*} E = \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \, 0 < y < 1 \, , \, y-2 < x < y \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

womit $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ das (offene) Parallelogramm mit den Ecken $\begin{eqnarray*} (-2,0),(0,0),(1,1),(-1,1) \end{eqnarray*}$ wäre. Die horizontale Grundseite hat die Länge $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , die zugehörige Höhe ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ den Inhalt $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ besitzt, so daß

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{1}{2} \cdot B(x,y) \end{eqnarray*}$

korrekt ist. Die Randdichte (A) ist

$\begin{eqnarray*} g(x) = \int_{- \infty}^{\infty} f(x,y) ~ \dd y = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} B(x,y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$

1. Jetzt nimm ein $\begin{eqnarray*} x \leq -2 \end{eqnarray*}$ . Dann trifft die Gerade parallel zur $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse, die durch die Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geht, das Parallelogramm $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ nicht. Also ist $\begin{eqnarray*} g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , weil ja $\begin{eqnarray*} B(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

2. Nimm dann ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -2 \leq x \leq -1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt schneidet die Parallele zur $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Parallelogramm eine Strecke aus, die bei $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ beginnt und bei $\begin{eqnarray*} y=2+x \end{eqnarray*}$ endet. Außerhalb dieser Strecke ist $\begin{eqnarray*} B(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ , innerhalb $\begin{eqnarray*} = 1 \end{eqnarray*}$ . Somit gilt

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} B(x,y) ~ \dd y = \frac{1}{2} \int_0^{2+x} \dd y = \frac{1}{2} \cdot (x+2) = \frac{1}{2} x + 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt es noch weitere Fälle. Aber die solltest du selber herausfinden, um Teil (A) fertigzustellen. Halte dich an die Zeichnung.

(B) geht dann ähnlich, ist sogar wesentlich einfacher zu rechnen.

25.08.2013, 22:27

blade22

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Hallo,

erstmal danke für die Hilfe, ich werde Morgen das nochmal ganz genau durchrechnen.

Übrigens habe ich mir die Aufgabenstellung nicht selbst so ausgedacht. LOL Hammer

Ich werde den Hinweis aber an den betreffenden Kryptographen weiterleiten.

Grüße Blade

13.09.2013, 17:15

blade22

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Hallo,
ich hab mich jetzt mal mit den Grenzen beschäftigt und mir versucht die Paralelle zur y-Achse (da nach y Integriert wurde) vorzustellen.

Für die Integration nach y würden dann noch folgende zwei Fälle dazu kommen:

Fall 2:
Die gedachte Strecke der Paralelle zur y-Achse ist zwischen den x-Werten -1 und 0 immer gleich 1.
Sind damit die Grenzen a=-1 und b=0?

Fall 3:
Die gedachte Strecke der Paralelle zur y-Achse ist zwischen den x-Werten 0 und 1 fallend von 1 auf 0.
Sind damit die Grenzen a=0 und b=1-x?

Ist das soweit richtig gedacht?

Grüße Blade

P.S. Wieso kann ich im Formeleditor keine negativen Grenzen nutzen ohne das dass Integral nicht mehr richtig angezeigt wird?

13.09.2013, 18:22

HAL 9000

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Die Längen stimmen, die Grenzen aber nicht - mit einer einigermaßen ordentlichen Skizze sollte das eigentlich nicht passieren. unglücklich

Zitat:

Original von blade22
Fall 2:
Die gedachte Strecke der Paralelle zur y-Achse ist zwischen den x-Werten -1 und 0 immer gleich 1.
Sind damit die Grenzen a=-1 und b=0?

Nein, $\begin{eqnarray*} a=0,b=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von blade22
Fall 3:
Die gedachte Strecke der Paralelle zur y-Achse ist zwischen den x-Werten 0 und 1 fallend von 1 auf 0.
Sind damit die Grenzen a=0 und b=1-x?

Hier sind es $\begin{eqnarray*} a=x,b=1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von blade22
P.S. Wieso kann ich im Formeleditor keine negativen Grenzen nutzen ohne das dass Integral nicht mehr richtig angezeigt wird?

Das geht sehr wohl: \int_{-2}^{-1}

13.09.2013, 19:04

blade22

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Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Die Zeichnung habe ich schon vorher gemacht, ich denke ich verstehe noch etwas grundsätzliches nicht.

Beim Fall 2 habe ich schlicht die Grenzen vertauscht, daher hier die Korrektur:

Die Strecke der Paralellen zwischen x=-1 und x=0 hat die Länge 1.
Damit ergibt sich untere Grenze a=0 da dort y=0 und die obere Grenze b=1 da dort y=1 ist.

Beim Fall 3 verstehe ich die Grenzen dann nicht mehr.
Es bleibt doch bei der Vorstellung das die Paralelle zur y-Achse von links (x=0) nach rechts (x=1) durchläuft, dabei ist die Strecke bei x=0 gleich 1 und fällt dann bei x=1 bis auf Null ab.
Wie komme ich jetzt mit diesem Wissen auf die Grenze?

Grüße Blade

P.S. Ok ich habs nur mit runden Klammern versucht, danke für den Tip.

13.09.2013, 19:24

HAL 9000

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Na dann zeichnen wir doch als Beispiel mal die Parallele $\begin{eqnarray*} x=0.7 \end{eqnarray*}$ (türkisfarben) noch mit ein:

Der y-Wert des Schnittpunktes dieser Geraden mit der grünen Randlinie des Parallelogramms ist der untere $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -Wert, der y-Wert des Schnittpunktes der Geraden mit der blauen Randlinie des Parallelogramms ist entsprechend der obere $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ -Wert. Was liest du hier ab:

(1) $\begin{eqnarray*} a=0,b=0.3 \end{eqnarray*}$ , so wie du es oben behauptest,

oder doch

(2) $\begin{eqnarray*} a=0.7,b=1 \end{eqnarray*}$ , wie ich es oben angegeben habe? verwirrt

13.09.2013, 20:13

blade22

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Hallo,

so wenn ich das jetzt richtig verstehe ist der y-Wert des Schnittpunktes natürlich 0.7 und der Schnittpunkt Grün/Blau 1.
Oder bezogen auf die gesamte Strecke untere Grenze x (grüne Line) und obere Grenze 1 Schnittpunkt Grün/Blau.

Das würde auch bedeuten wenn das Paralellogram doppel so hoch wäre (also bei y=2 aufhört), das damit untere Grenze 2x (doppelte Steigung der grünen Geraden) und die obere Grenze 2 wäre?

Wenn ich das nun auf den ersten Bereich der unveränderten Aufgabe zwischen x=-2 und x=-1 anwenden würde, müssten die untere Grenze wieder x sein (laufender Schnittpunkt mit der Lila Geraden und die obere Grenze wieder 1 (Schnittpunkt zwischen Blau und Lila)?

Grüße Blade

13.09.2013, 20:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von blade22
Das würde auch bedeuten wenn das Paralellogram doppel so hoch wäre (also bei y=2 aufhört), das damit untere Grenze 2x (doppelte Steigung der grünen Geraden) und die obere Grenze 2 wäre?

Stelle bitte nicht solche halbgaren Fragen: Wenn du von einem anderen Parallelogramm redest, dann beschreibe es bitte ordentlich: "Doppelt so hoch" und "also bei y=2 aufhört" ist keine ausreichende Beschreibung - basierend auf dem aktuellen Parallelogramm kann ich mir gut und gern zwei verschiedene plausible Interpretationen dieser unklaren Beschreibung vorstellen:

oder

13.09.2013, 20:51

blade22

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Wo die beiden Varianten gerade da sind folgende Übung:

Variante 1 $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(y) \, dy \end{eqnarray*}$
Es gibt streng genommen vier Bereiche:

1) Außerhalb der eingeschlossenen Fläche, also 0 für x < -2

2) Hier schneidet die Paralelle zur y-Achse die rote und lila Gerade.
y-Wert des Schnittpunktes zwischen Paralellen und roter Geraden ist immer 0 (untere Grenze)
y-Wert des Schnittpuinktes zwischen Paralellen und lila Geraden verläuft auf Funktion x+2 (obere Grenze)
$\begin{eqnarray*} \int_0^x \! f(y) \, dy \end{eqnarray*}$
-2 < x < 0

3) Hier schneidet die Paralelle zur y-Achse die blaue und grüne Gerade.
y-Wert des Schnittpunktes zwischen Paralellen und blauer Geraden ist immer 1 (obere Grenze)
y-Wert des Schnittpunktes zwischen Paralellen und grüner Gerade verläuft auf Funktion x (untere Grenze)
$\begin{eqnarray*} \int_x^2 \! f(y) \, dy \end{eqnarray*}$
0 < x < 2

4) Außerhalb der eingeschlossenen Fläche, also 0 für x > 2

Hoffe ich stelle mich nicht zu dämlich an LOL Hammer

Grüße Blade

13.09.2013, 21:26

blade22

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Der zweite Bereich ist nicht ganz richtig!

Es sollte so $\begin{eqnarray*} \int_0^{x+2} \! f(y) \, dy \end{eqnarray*}$ aussehen.

Da das die lila Gerade richtig beschreibt.

Grüße Blade

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