Zerfällungskörper endlicher Körper

26.08.2013, 20:39

Mathema

Zerfällungskörper endlicher Körper

Hallo

Ich muss den Zerfällungskörper für das Polynom f = $\begin{eqnarray*} x^{4} -2 \end{eqnarray*}$ .
Das Polynom ist in Z/5Z[x].

Meine Ideen:
Bis jetzt habe ich immer das Polynom nach Irreduzibilität untersucht und dann eine Nullstelle a adjungiert. Danach habe ich getestet ob a^2, a^2+1 etc. Nullstellen sind, damit ich weiss ob ich noch eine weitere Wurzel adjungieren muss(das war über Z/2Z). Aber mit Z/5Z finde ich das doch extrem umständlich. Gibt es ein einfacheres Verfahren?
Ich habe da so ein Gerücht gehört Augenzwinkern

: Jede Erweiterung eines endliche Körper ist normal. Womit alle meine Probleme gelöst wären. Weiss aber nicht was dran ist.

Danke für eure Mithilfe

26.08.2013, 21:41

watcher

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Hallo,

ist denn das Polynom irreduzibel?

Zitat:

Jede Erweiterung eines endliche Körper ist normal

Das ist richtig.
Wenn dir der Satz unbekannt ist kannst du ihn aber schlecht verwenden...

Alle NST lassen sich aber in Abh. von einer NST a konkret angeben,
z.B. kann man so draufkommen:
- Wie ist die Zerlegung von f in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 5 \mathbb Z [a] \end{eqnarray*}$ ? Was sagt das über die weiteren Nullstellen?
- Oder man lässt sich vom Zerfällungskörper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt[4]{2},i) \end{eqnarray*}$ inspirieren: Was ist hier i?

27.08.2013, 11:58

Mathema

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Also erstmal danke für deine Hilfe.

Also das Polynom ist irreduzibel. Habe einfach alle Werte ausprobiert und es gab nie Null.
Zu deiner ersten Frage: Das ist mein Hauptproblem

$\begin{eqnarray*} x^{4} -2=(x-a)*(....) \end{eqnarray*}$
Ich denke mit Polynomdivision ist das dann machbar. Finde das jedoch auch sehr umständlich, wegen dem a(wenn man dann ein Polynom noch höheren Grades hat als 4).

Zur zweiten Frage: Ich sehe hier den Zusammenhang zwischen Z/5z und Q nicht. Das sind doch völlig verschiedene Körperstrukturen. Meinst du hier mit i die komplexe Zahl i?

27.08.2013, 12:49

watcher

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Was einem hier sofort auffallen sollte, ist dass mit a auch -a eine NST ist.
Das macht die Faktorisierung erheblich einfacher.

Zitat:

(wenn man dann ein Polynom noch höheren Grades hat als 4).

Es geht hier um diese konkrete Polynom. Inn anderen Fällen mag man wohl anders vorgehen. Und falls du darauf raus willst: Es gibt kein allgemeingültiges Verfahren das alle Fälle erschlägt.

Mein zweiter Vorschlag war wohl zu kryptisch:
Betrachtet man $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb Q [X] \end{eqnarray*}$ so ist der Zerf.körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt[4]{2},i) \end{eqnarray*}$ (ist das klar?)
Die Frage ist ob man über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ 5 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein äquivalent zu i findet, sprich ein Element mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$

27.08.2013, 13:31

Mathema

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Ja, dass das der Zerfällungskörper ist, ist mir klar.
In Z/5Z erfüllt 2 diese Eigenschaft.
Ich sehe aber noch nicht worauf du hinaus willst.

27.08.2013, 13:40

watcher

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Wie sehen denn die NST im rationalen Fall aus?
Und wie sehen sie wohl damit mod 5 aus?

27.08.2013, 14:10

Mathema

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Willst du mir damit sagen, dass das die Nullstellen sind:
a, -a, -2a und 2a.
Ja, sind tatsächlich die Nullstellen. Freude

.

Wenn ich jetzt nun aber z.B. statt Z/5Z, Z/11Z nehme, finde ich kein Element x mehr mit x^2 =-1.
Muss ich da eine andere Strategie verfolgen?

27.08.2013, 14:19

watcher

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Im Endeffekt kannst du sehr ähnlich argumtieren:
Ist a eine NST und x eine 4.te EW (bzw. ein Element der Ordnung 4) in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ 11 \mathbb Z [a] \end{eqnarray*}$ so sind auch $\begin{eqnarray*} xa,x^2a,x^3a \end{eqnarray*}$ NSt von f.
Es genügt zu zeigen, dass so ein x existiert. Vorher konnte man es konkret angeben, hier kann man mit etwas Gruppentheorie die Existenz zeigen ohne x konkret anzugeben.

27.08.2013, 16:38

Mathema

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Ok danke.
Kann ich dir noch was zu Kreisteilungserweiterung fragen?
Wenn ich die Erweiterung Q(9-te Einheitswurzel)/Q betrachte, sagt mir der Hauptsatz der Galoistheorie, dass ich zwei Zwischenkkörper habe(da Gal(Q(9)/Q) iso zu Z/6Z ist und Z/6Z zwei Untergruppen hat). Ich frage mich jetzt nur, wie der eine Zwischenkörper aussieht(der mit [Q(a):Q]=3. Oder anders gefragt: Wie sieht das primitive Element aus?

27.08.2013, 17:01

watcher

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Ein nette Eigenschaft von Kreisteilungskörpern ist, dass die Isomorphien relativ leicht hinzuschreiben sind. D.h. du kannst dir die Erzeuger der Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /6 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/9 \mathbb Z ^* \end{eqnarray*}$ raussuchen und unter dem Iso zurückziehen und erhältst dann den entsprechenden Erzeuger.

Und da die zykl. Gruppe mit 6 Elementen zwei echte Untergruppen hat sind es auch 2 echte Zwischenkörper nach dem Hauptsatz.

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