Teilraum R^3 und C^3

26.08.2013, 22:20

küb

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Teilraum R^3 und C^3

Meine Frage:
Hey Leute, noch eine Frage ^^'

Ich habe zwei Aufgaben, die sich ziemlich ähnlich sehen..
Darum weiß ich nicht, wo der Unterschied beim Lösen der Aufgabe liegt.

a) Untersuchen Sie, ob

$\begin{eqnarray*} T = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{vmatrix} \in \mathbb R ^{3} | x_{1} + x_{2} = 0 , x_{3} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ }

ein Teilraum von R^3 ist.

b) Untersuchen Sie, ob

$\begin{eqnarray*} T = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{vmatrix} \in \mathbb C ^{3} | x_{1} + x_{2} = 0 , x_{3} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ }

ein Teilraum von C^3 ist.

Meine Ideen:
Meine Lösung zu a)

(1) T ist nichtleer, da $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\0 \end{vmatrix} \in T \end{eqnarray*}$

(2) Seien $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{vmatrix}\in T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{vmatrix}\in T \end{eqnarray*}$ ,
da
$\begin{eqnarray*} (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + 0*(x_3 + y_3) = (x_1 + x_2) + (y_1 * y_2) = 0 \end{eqnarray*}$ (da x,y in T)

(Also abgeschlossen bzgl. Addition)

(3) Sei $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{vmatrix}\in T, \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda * \begin{vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{vmatrix} \in T \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lambda* (x_1 + x_2) = 0 \end{eqnarray*}$ , da x in T

Und was muss jetzt anders aussehen bei b) ?

26.08.2013, 22:48

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3

Zitat:

Original von küb
$\begin{eqnarray*} (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + 0*(x_3 + y_3) = (x_1 + x_2) + (y_1 * y_2) = 0 \end{eqnarray*}$ (da x,y in T)

Wieso schreibst du noch $\begin{eqnarray*} +0\cdot(x_3+y_3) \end{eqnarray*}$ auf?
Neben dem Tippfehler in $\begin{eqnarray*} y_1+y_2 \end{eqnarray*}$ hast du jedenfalls $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nicht definiert.

Zitat:

(Also abgeschlossen bzgl. Addition)

Du vergisst die Bedingung an die dritte Komponente. Die musst du auch noch überprüfen.
Bis hierhin wirst du b) ganz analog behandeln können.

Aber auch bei der Überprüfung von (3) übersiehst du die Bedingung an die dritte Komponente, was den Unterschied in b) ausmachen wird.

26.08.2013, 23:05

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3

Zitat:

Wieso schreibst du noch $\begin{eqnarray*} +0\cdot(x_3+y_3) \end{eqnarray*}$ auf?

Also einfach weglassen..

Zitat:

Neben dem Tippfehler in $\begin{eqnarray*} y_1+y_2 \end{eqnarray*}$ hast du jedenfalls $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nicht definiert.

Stimmt, danke.
Und zur Definition: Schreibe ich dann einfach auf:

Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in T \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} x = \begin{vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \begin{vmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Du vergisst die Bedingung an die dritte Komponente. Die musst du auch noch überprüfen.

Also, dass x_3 in R ist? Oder wie meinst du das?

26.08.2013, 23:09

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Zunächst einmal: Mit pmatrix statt vmatrix kannst du runde Klammern erzeugen.

Später schreibt man $\begin{eqnarray*} x,y\in T \end{eqnarray*}$ und bezeichnet deren Komponenten dann kommentarlos mit $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ etc.
Anfangs solltest du natürlich genauer arbeiten. So, wie du es aufgeschrieben hast, ist es in Ordnung. Statt "d.h." schreib aber lieber "wobei".

Ja, die Bedingung " $\begin{eqnarray*} x_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ " meine ich.

26.08.2013, 23:21

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Kann ich nicht davon ausgehen, dass wenn

$\begin{eqnarray*} T =\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ ist,

$\begin{eqnarray*} x_{3} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist?

26.08.2013, 23:27

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Da verdrehst du irgendetwas; $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist ja kein Vektor.
Wenn du aber die obigen beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ hast, sind ja $\begin{eqnarray*} x_3,y_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Dass dann auch $\begin{eqnarray*} x_3+y_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , ist klar; womit $\begin{eqnarray*} x+y\in T \end{eqnarray*}$ gezeigt wäre.

Analog verfahre mit der Skalarmultiplikation.

Siehst du schon, was im komplexen Fall anders ist?

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26.08.2013, 23:40

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Zur Skalarmultiplikation:

$\begin{eqnarray*} \lambda * x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x \in T \end{eqnarray*}$ ?

und bei b)

Ich habe wieder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus T.
Diesmal ist T aber in C.

Jetzt kann ich nicht einfach aus $\begin{eqnarray*} x_3, y_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
schlussfolgern, dass weil $\begin{eqnarray*} x_3 + y_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, auch $\begin{eqnarray*} x+y \in T \end{eqnarray*}$ gilt.

27.08.2013, 07:42

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3

Zitat:

Original von küb
$\begin{eqnarray*} \lambda * x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x \in T \end{eqnarray*}$ ?

Du willst doch gar nicht $\begin{eqnarray*} \lambda x_3=0 \end{eqnarray*}$ überprüfen, sondern ...?
Und dazu ist auch $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ wichtig.

Zitat:

Diesmal ist T aber in C.

Nicht ganz.

Zitat:

Jetzt kann ich nicht einfach aus $\begin{eqnarray*} x_3, y_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
schlussfolgern, dass weil $\begin{eqnarray*} x_3 + y_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, auch $\begin{eqnarray*} x+y \in T \end{eqnarray*}$ gilt.

Doch. Wenn $\begin{eqnarray*} x_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann ist natürlich auch $\begin{eqnarray*} x_3+y_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

27.08.2013, 15:55

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3

Zitat:

Du willst doch gar nicht $\begin{eqnarray*} \lambda x_3=0 \end{eqnarray*}$ überprüfen, sondern ...?
Und dazu ist auch $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ wichtig.

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ weil, $\begin{eqnarray*} \lambda, x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

So vielleicht?

Zitat:

Zitat:

Diesmal ist T aber in C.

Nicht ganz.

Der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist in C.

Zitat:

Doch. Wenn $\begin{eqnarray*} x_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann ist natürlich auch $\begin{eqnarray*} x_3+y_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Aber dann habe ich ja genau dasselbe stehen, wie bei a)
Wo ist denn der Unterschied bzgl. x_3

27.08.2013, 15:59

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3

Zitat:

Original von küb
So vielleicht?

Ja, genau

Zitat:

Der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist in C.

Nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ , sondern in $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Aber dann habe ich ja genau dasselbe stehen, wie bei a)
Wo ist denn der Unterschied bzgl. x_3

In a) hast du die Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation mit reellen skalaren gezeigt.
Hier musst du die Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation mit komplexen Skalaren überprüfen. Es ist also $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

27.08.2013, 16:11

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Also erst brauch ich ja die Abgeschlossenheit unter der Addition.

Also bei a):

Zitat:

Wenn du aber die obigen beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ hast, sind ja $\begin{eqnarray*} x_3,y_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Dass dann auch $\begin{eqnarray*} x_3+y_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , ist klar; womit $\begin{eqnarray*} x+y\in T \end{eqnarray*}$ gezeigt wäre.

Dann brauche ich für a) die Abgeschlossenheit unter der skalaren Multiplikation:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ weil, $\begin{eqnarray*} \lambda, x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Und jetzt bei b)

Da brauche ich ja auch erstmal die Abgeschlossenheit unter der Addition.

Hier verstehe ich den Unterschied nicht.. Ich schreibe auf.

$\begin{eqnarray*} x_3, y_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} x_3 + y_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, gilt auch $\begin{eqnarray*} x+y \in T \end{eqnarray*}$ . Aber T ist in C^3.. hä?

Und dann komme ich zur skalaren Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ weil, $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C, x_3 \in \mathbb R \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

Also ist T in b) kein Teilraum von C^3, weil die Eigenschaft von x_3 nicht stimmt?

27.08.2013, 16:16

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3

Zitat:

Original von küb

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ weil, $\begin{eqnarray*} \lambda, x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wieso denn $\begin{eqnarray*} \lambda x_3\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Da brauche ich ja auch erstmal die Abgeschlossenheit unter der Addition.

Hier verstehe ich den Unterschied nicht.. Ich schreibe auf.

Wenn du eine andere Unterraum-Eigenschaft widerlegen kannst, brauchst du die restlichen nicht zu überprüfen. Aber ja, auch in b) ist $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nichtleer und abgeschlossen unter Addition.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ weil, $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C, x_3 \in \mathbb R \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

Was soll denn " $\begin{eqnarray*} \mathbb R\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ " heißen?
Wahrscheinlich meinst du aber das richtige. Dazu bräuchtest du aber ein Gegenbeispiel.
Finde einen Vektor $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2,x_3)\in T \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \lambda x\notin T \end{eqnarray*}$ .

27.08.2013, 16:37

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3

Zitat:

Wieso denn $\begin{eqnarray*} \lambda x_3\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \lambda x_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ Tut mir Leid.

Zitat:

Aber ja, auch in b) ist $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nichtleer und abgeschlossen unter Addition.

Wie zeige ich denn die Abgeschlossenheit unter Addition in b) ?
Das kriege ich ja die ganze Zeit irgendwie nicht hin unglücklich

unglücklich

Zitat:

Was soll denn " $\begin{eqnarray*} \mathbb R\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ " heißen?

$\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ weil, $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C, x_3 \in \mathbb R \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$

Stimmt $\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ an der Stelle?

27.08.2013, 16:44

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3

Zitat:

Original von küb
Wie zeige ich denn die Abgeschlossenheit unter Addition in b) ?

Ganz genau so wie in a). Brauchst du aber gar nicht.

Zitat:

Stimmt $\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ an der Stelle?

Ja, das stimmt. Aber was bringt dir das?

27.08.2013, 16:49

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Okay, dann schreibe ich bei b) genau dasselbe wie bei a).

$\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \in T \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C, x_3 \in \mathbb R \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$

Und zum Gegenbeispiel:

Wenn lambda in C ist, wie soll dann $\begin{eqnarray*} \lambda x\notin T \end{eqnarray*}$ möglich sein?

27.08.2013, 16:55

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Sieh dir mal die Bedingung an die dritte Komponente eines Vektors in $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ genau an.
Damit $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ liegt, muss $\begin{eqnarray*} x_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ sein.
Die Idee ist: Einen solchen Vektor kann man mit einem komplexen Skalar multiplizieren, so dass diese Bedingung nicht mehr erfüllt ist.

27.08.2013, 17:01

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Wenn ich x_3 (in R) mit einem komplexen Skalar lambda=i multipliziere,
dann ist doch bloß die Bedingung $\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \in T \end{eqnarray*}$ gezeigt.

27.08.2013, 17:10

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Wie soll $\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \end{eqnarray*}$ (ein Skalar) ein Element von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ (Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ ) sein?
Pass etwas besser auf, wo du das Zeichen $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ setzt bzw. ob das Sinn ergibt.

27.08.2013, 17:17

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Die dritte Bedingung lautet doch

$\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \in T \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C, x_3 \in \mathbb R \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$

Oder ist das jetzt falsch? geschockt

geschockt

27.08.2013, 17:19

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Und nochmal genau dasselbe: Die Aussage $\begin{eqnarray*} \lambda x_3\in T \end{eqnarray*}$ ist Unsinn.
Elemente von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ sind Vektoren mit drei Komponenten.

27.08.2013, 17:28

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Also lasse ich es doch so stehen.

$\begin{eqnarray*} \lambda x_3 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ weil, $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C, x_3 \in \mathbb R \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$

Kann ich schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lambda * x =\begin{pmatrix} \lambda *x_1 \\ \lambda* x_2 \\ \lambda* x_3 \end{pmatrix} \in T \end{eqnarray*}$ ?

Und dann sage ich, dass $\begin{eqnarray*} x_3 \notin \mathbb R \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Bedingung nicht mehr erfüllt.

27.08.2013, 17:36

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3
verwirrt

verwirrt

Du setzt doch $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3)\in T \end{eqnarray*}$ voraus. Wie willst du dann $\begin{eqnarray*} \lambda x\in T \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ folgern?

27.08.2013, 17:44

HAL 9000

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Kleine Anmerkung: Hier

Zitat:

Original von küb
a) Untersuchen Sie, ob [...] ein Teilraum von R^3 ist.

b) Untersuchen Sie, ob [...] ein Teilraum von C^3 ist.

folgt man der Konvention, $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ als Vektorraum über den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ als Vektorraum über den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ zu verstehen.

Deutlich kenntlich gemacht spricht allerdings auch nichts dagegen, $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ als Vektorraum über den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zu betrachten, dann mit Dimension $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . In dem Fall würde dann die Antwort zu b) anders lauten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2013, 17:48

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Ich schau mir nochmal alles an und melde mich nochmal..

27.08.2013, 20:05

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Ich hab mir alles nochmal ordentlich aufgeschrieben, weil ich gar keinen Überblick mehr hatte..

Aber ich komme irgendwie nicht voran.. unglücklich

unglücklich

27.08.2013, 20:07

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Zeig am besten mal, was du dir aufgeschrieben hast. Zumindest zu b); Teil a) scheint ja geklärt zu sein (oder?).

27.08.2013, 20:28

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Ich schreibe mal auf, was ich bis jetzt auf meinem Blatt stehen habe:

Aufgabe a)

(1) T ist nichtleer, da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in T \end{eqnarray*}$

(2) Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in T \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = 0 \end{eqnarray*}$ ,
da $\begin{eqnarray*} (x_1 + x_2) = 0 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} x \in T \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} (y_1 + y_2) = 0 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} y \in T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ muss auch untersucht werden:

Da $\begin{eqnarray*} x,y \in T \end{eqnarray*}$ , sind auch $\begin{eqnarray*} x_3, y_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 + y_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} x+y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

(abgeschlossen bzgl. der Addition)

(3) Sei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in T, \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in T \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lambda * (x_1 + x_2) = 0 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} (x_1 + x_2) = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x \in T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ muss auch untersucht werden:

$\begin{eqnarray*} x \in T \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda*x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \lambda, x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

(abgeschlossen bzgl. der skalaren Multiplikation)

-----------------------------------

Aufgabe b)

(1) T ist nichtleer, da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in T \end{eqnarray*}$

(2) Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in T \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = 0 \end{eqnarray*}$ ,
da $\begin{eqnarray*} (x_1 + x_2) = 0 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} x \in T \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} (y_1 + y_2) = 0 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} y \in T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ muss auch untersucht werden:

Da $\begin{eqnarray*} x,y \in T \end{eqnarray*}$ , sind auch $\begin{eqnarray*} x_3, y_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 + y_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} x+y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

(abgeschlossen bzgl. der Addition)

(3) Sei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in T, \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in T \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lambda * (x_1 + x_2) = 0 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} (x_1 + x_2) = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x \in T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ muss auch untersucht werden:

$\begin{eqnarray*} x \in T \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda*x_3 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C, x_3 \in \mathbb R \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$

(keine Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation)

-> Gegenbeispiel gesucht:

Gesucht: Vektor $\begin{eqnarray*} x= (x_1, x_2, x_3 ) \in T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \lambda x\notin T \end{eqnarray*}$ .

27.08.2013, 21:23

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3

Zitat:

Original von küb
$\begin{eqnarray*} x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ muss auch untersucht werden:

Dass $\begin{eqnarray*} x_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , ist in der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x\in T \end{eqnarray*}$ enthalten.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ muss auch untersucht werden:

Analog.

Zitat:

(keine Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation)

-> Gegenbeispiel gesucht:

Gesucht: Vektor $\begin{eqnarray*} x= (x_1, x_2, x_3 ) \in T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \lambda x\notin T \end{eqnarray*}$ .

Alles, was du zu b) vor diesen Zeilen aufgeschrieben hast, solltest du eher als Überlegung verwenden.
Idealerweise siehst du gleich, dass es bei der Skalarmultiplikation schiefgeht. Wenn nicht, gehst du alles so durch, wie du es hier aufgeschrieben hast. Dann merkst du, dass du die Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation nicht zeigen kannst. Das wirft die Vermutung auf, dass die tatsächlich nicht gegeben ist.
Wenn du deine Lösung für die Hausaufgabe oder später für die Klausur aufschreibst, genügt es, wenn du nur ein Gegenbeispiel lieferst. Die Rechnung davor, die zur Sackgasse bei der Skalarmultiplikation führt, kannst du auf einem Schmierblatt führen oder vielleicht im Kopf überschlagen.

Wenn du also deine Lösung sauber aufschreibst, beginne mit "Die Menge $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist [kein Teilraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ , denn sie ist] unter Skalarmultiplikation nicht abgeschlossen:".

Ach ja, ansonsten sieht alles gut aus. Nur das " $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ muss überprüft werden" ist wie gesagt fehl am Platz und die Rechnung zu b) gehört nicht in die Abgabe.

27.08.2013, 21:39

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Also kann ich den Teil "x_3 muss untersucht werden" komplett weglassen?

Zitat:

Wenn du deine Lösung für die Hausaufgabe oder später für die Klausur aufschreibst, genügt es, wenn du nur ein Gegenbeispiel lieferst.

Okay

smile

Ich schreib das jetzt alles so detailliert wie möglich für mich auf, damit ich es auch verstehe..

So und jetzt kommen wir zu dem problematischen Teil.. Das Gegenbeispiel..
Weil ich jetzt so lange an der Aufgabe dran bin, weiß ich nicht mal mehr, wieso da überhaupt die "Sackgasse" entsteht..
Was müsste da in der Rechnung denn stehen, damit keine "Sackgasse" entstanden wäre..?

27.08.2013, 21:42

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3

Zitat:

Original von küb
Also kann ich den Teil "x_3 muss untersucht werden" komplett weglassen?

Du könntest schreiben, dass $\begin{eqnarray*} x_3+y_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ überprüft werden muss – oder halt $\begin{eqnarray*} \lambda x_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Zitat:

Weil ich jetzt so lange an der Aufgabe dran bin, weiß ich nicht mal mehr, wieso da überhaupt die "Sackgasse" entsteht..

Das Problem ist folgendes: Wenn du eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ und eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gegeben hast, muss deren Produkt nicht zwingend reell sein – müsste es aber, damit $\begin{eqnarray*} \lambda x\in T \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2,x_3)\in T \end{eqnarray*}$ .

27.08.2013, 21:49

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3

Zitat:

müsste es aber, damit $\begin{eqnarray*} \lambda x\in T \end{eqnarray*}$ ist

Genau diesen Teil verstehe ich nicht.. T ist doch ein Teilraum von C^3, also wo ist das Problem, wenn deren Produkt nicht reell wäre, sondern komplex?

27.08.2013, 21:55

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Es ist eben $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ kein Teilraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ . Der Sinn der Aufgabe ist es, genau das zu zeigen.
Alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ haben eine rein reelle dritte Komponente. Durch Multiplikation mit einem komplexen Skalar kann man das jedoch "kaputtmachen", weshalb $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ kein Teilraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ ist.

27.08.2013, 22:02

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Also wird die Eigenschaft x_3 in R verletzt.. Hab ich das so richtig verstanden?

Also kann ich als Gegenbeispiel schreiben:

lambda = i und für x_1, x_2, x_3 setze ich beliebige Zahlen ein

x= (2i, 3i, 4i) und somit ist die dritte Komponente x_3 nicht mehr reell, sondern komplex..

27.08.2013, 22:05

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Du meinst $\begin{eqnarray*} x=(2,3,4) \end{eqnarray*}$ ? Das ist allerdings kein Element von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten sieht die Idee richtig aus. Nur zwei Dinge:
- "komplex" schließt "reell" nicht aus.
- Für $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ kannst du keine beliebige (reelle) Zahl einsetzen; der Eintrag darf nämlich nicht Null sein.

27.08.2013, 22:17

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Achso ich muss ja auch noch x_1 + x_2 = 0 beachten..

Dann nehme ich x= ( -2, 2, x_3)
Für x_3 habe ich noch keine Idee.. Oder meintest du bloß, dass es alles außer Null sein darf?

27.08.2013, 22:23

Che Netzer

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Ja, das meinte ich.
Hübscher wäre übrigens $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=0 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2013, 22:33

küb

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RE: Teilraum R^3 und C^3
Okay smile

smile

Omg, vielen vielen Dank.. Du hast mir echt aus der Klemme geholfen.
Auch wenn ich dich jetzt stundenlang nerven musste Gott

Gott

Das ist nur so schwer innerhalb von einer Vorlesung und einem Tutorium das ganze Thema zu verstehen unglücklich

unglücklich

Zum Glück gibt es Matheboard.. Ich verstehe hier mehr als in der Uni..

Wink

Wink

Wink

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