Direktes Produkt von Gruppen

27.08.2013, 20:53

steviehawk

Direktes Produkt von Gruppen

Meine Frage:
Hallo Leute,

habe eine Frage zu folgenden Resultat:

Seid $\begin{eqnarray*} K, H \trianglelefteq G \end{eqnarray*}$ Normalteiler und $\begin{eqnarray*} K \cap H = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ Dann ist: $\begin{eqnarray*} K \cdot H \cong K \times H \end{eqnarray*}$

Frage 1) Gilt dies auch für 3,4 bzw n viele Gruppen, also:

$\begin{eqnarray*} K, H, Q \trianglelefteq G \end{eqnarray*}$ Normalteiler und $\begin{eqnarray*} K \cap H = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \cap H = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \cap Q = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ Dann ist: $\begin{eqnarray*} K \cdot H \cdot Q \cong K \times H \times Q \end{eqnarray*}$

Frage2) Ist folgendes die Begründung (Beweis) für das Resultat

$\begin{eqnarray*} |P \cdot Q| = \frac{|P| \cdot |Q|}{|P\cap Q|} \end{eqnarray*}$ Für Untergruppen $\begin{eqnarray*} P,Q \leq G \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich brauche dies im Wesentlichen um zu beweisen, dass die Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ der Ordnung 1001 zyklisch ist.

Ich erhalte hier nämlich je eine Sylowuntergruppe zu, $\begin{eqnarray*} p = 7,11,13 \end{eqnarray*}$ , diese sind alle Normalteiler und es gilt: $\begin{eqnarray*} P_7 \cap P_{11} = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_7 \cap P_{13} = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{13} \cap P_{11} = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$

wenn die Formel oben auch für 3 gilt, dann habe ich ja sofort: $\begin{eqnarray*} P_7 \cdot P_{11} \cdot P_{13} \cong P_7 \times P_{11} \times P_{13} \end{eqnarray*}$

Und es gilt ja auch: $\begin{eqnarray*} P_i \cong \mathbb Z / i \mathbb Z \end{eqnarray*}$ (natürlich nur hier jetzt)

Und da: $\begin{eqnarray*} |P_7|\cdot|P_{11}|\cdot|P_{13}| = |G| \end{eqnarray*}$ folgt doch dann:

$\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z/7 \mathbb Z \times \mathbb Z/11 \mathbb Z \times \mathbb Z/13 \mathbb Z \end{eqnarray*}$

da ggT (7,11,13 ) = 1 folgt:

$\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z/1001 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ damit ist G zyklisch

so habe jetzt mal so getan als würde das Resultat auch für mehrere Normalteiler gelten. Stimmt das denn? Fehlt irgendwas in der Begründung?

Vielen Dank

Ergänzug: Für das kartesische Produkt gilt: $\begin{eqnarray*} | A_0 \times A_1 | = |A_0|\cdot|A_1| \end{eqnarray*}$

27.08.2013, 21:54

watcher

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Hallo,

zu 2) Das folgt ziemlich direkt aus dem 2.Isomorphiesatz.

Zitat:

Gilt dies auch für 3,4 bzw n viele Gruppen, also: $\begin{eqnarray*} K, H, Q \trianglelefteq G \end{eqnarray*}$ Normalteiler und $\begin{eqnarray*} K \cap H = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \cap H = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \cap Q = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ Dann ist: $\begin{eqnarray*} K \cdot H \cdot Q \cong K \times H \times Q \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung. Stimmt wohl zumindest für endliche Gruppen.
Das brauchst du hier aber gar nicht. Du willst:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z/7 \mathbb Z \times \mathbb Z/11 \mathbb Z \times \mathbb Z/13 \mathbb Z \end{eqnarray*}$

und das geht z.B. mit Beweisteil $\begin{eqnarray*} g \Rightarrow h \end{eqnarray*}$ des Satzes von Burnside für nilpotente Gruppen.

27.08.2013, 22:34

steviehawk

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der Satz wurde bei uns leider gar nicht behandelt, daher werde ich den wohl kaum (ohne Beweis) einfach so in der Klausur verwenden dürfen smile

27.08.2013, 22:42

watcher

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Ich hab doch explizit auf den Beweisteil verwiesen.
Wäre es zuviel verlangt den einfach nachzuahmen?

Insbesondere in Anbetracht dessen, dass deine Alternative ist eine (unbewiesene) Vermutung aufzustellen und die zu verwenden.

Oder ist selber beweisen mittlerweile verboten?

27.08.2013, 22:56

steviehawk

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Und der Beweis ist ja garnich mal so schlimm Big Laugh

Verstehe nur nicht ganz, warum dieser Homom. injektiv ist. Kannst du dazu noch ein Wort verlieren?

Und selber beweisen ist natürlich immer erlaubt, nur traue ich mir das selber irgendwie nicht so ganz zu.

Viele Grüße

27.08.2013, 23:08

watcher

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Zur Inj.:
z.B. schlicht über die Def.:
Sei $\begin{eqnarray*} s_7s_{11}s_{13}=e \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} s_7s_{11}=s^{-1}_{13} \end{eqnarray*}$ , die linke Seite ist in $\begin{eqnarray*} P_7P_{11} \end{eqnarray*}$ die rechte in $\begin{eqnarray*} P_{13} \end{eqnarray*}$ .
Damit sind beide Seiten (!) gleich e.
Nochmal auf die linke Seite anwenden.

Analog kann man auch die im Link angesprochene eindeutige Darstellvbarkeit beweisen.

28.08.2013, 07:40

steviehawk

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Danke!

Falls sich das noch einer ansieht, kann er ja vielleicht noch mal Stellung zu meiner aufgstellten Behauptung nehmen Wink

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