Galoisgruppe Z/nZ

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28.08.2013, 14:53	Jaker	Auf diesen Beitrag antworten »
Galoisgruppe Z/nZ Hallo miteinander Frage: Gesucht ist ein Polynom dritten Grades mit Galoisgruppe Z/3Z bzw. vierten Grades mit Galoisgruppe Z/4Z. Ideen: Ich habe ein paar Polynome ausprobiert. Ich bekomme aber immer wieder S3 als Galoisgruppe, da wenn ich ein Element adjungiere noch nicht den Zerfällungskörper erhalte. Also habe ich mir überlegt, dass ich ein Element finden muss, das adjungiert den Zerfällungskörper ergibt. Habe dann mit der Summe der Wurzeln versucht, bekomme dann aber immer ein Polynom 6ten Grades. Bin ich auf den richtigen Weg oder muss ich das ganz anders angehen? Hat jemand eine Idee? Bzw. gibt es da ein allgemein gültiges Konzept.
28.08.2013, 15:01	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss es denn zwingend über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ sein? Ich vermute schon. Es bietet sich hier an in x^3+px+q, die Koeffizienten so zu wählen, dass einerseits das Polynom irreduzibel ist, und andererseits $\begin{eqnarray} -4p^3-27q^2 \end{eqnarray}$ eine Quadratzahl ist. Wenn es nicht über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ sein muss, so wäre die Sache viel einfacher. $\begin{eqnarray} \mathbb Z/4\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist wieder eine Spur einfacher, kennst du z.B. die Galoisgruppen der zyklotomischen Polynome?
28.08.2013, 15:20	Jaker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es ist über Q. Hmm, die Formel kommt mir bekannt vor. Hat was mit der Diskriminante zu tun. Werde das gleich nachlesen. Von zyklotomische Polynome habe ich noch nie was gehört. Muss ich im Internet nachlesen oder du erklärst mir das .
28.08.2013, 15:53	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja du kannst es gerne im Internet oder sonstwo nachlesen. Aber wir brauchen ja nicht alles. Es reicht ja schon, wenn du mal das Minimalpolynom der fünften Einheitswurzel hinschreibst und dessen Galoisgruppe berechnest
28.08.2013, 16:38	Jaker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok , werde es gleich mal probieren. Danke für deine Hilfe.
28.08.2013, 16:53	Jaker	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich rekapituliere den Fall deg f =3. Habe das jetzt nachgelesen. Die Diskriminante des Polynoms f= x^3+px+q ist: -4p^3-27q^3. Jetzt habe ich einen Satz, der sagt wenn die Diskriminante gleich a^2 ist für ein a in Q. Dann ist die Galoisgruppe isomorph zu A3. Da A3 3 Elemente hat, ist sie gerade die zyklische Gruppe. Also kann ich z.b das Polynom x^3-3x+1 wählen. Ist das richtig?
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28.08.2013, 16:55	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja $\begin{eqnarray} x^3-3x+1 \end{eqnarray}$ ist eine gute Wahl. Bei den Exponenten der Diskriminante hast du dich übrigens verschrieben.
28.08.2013, 17:15	Jaker	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du bei: -27q^3. Du hast nämlich -27q^2 geschrieben. Bei mir im Skript steht jedoch, dass es hoch 3 stimmt
28.08.2013, 17:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist im Skript ein Fehler. Du kannst es ja auch selbst nachrechnen. Bis auf Vorzeichen ist die Diskriminante ja gerade die Resultante von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ . Bei einem Polynom vom Grad 3 ohne quadratischen Term geht das noch recht schnell (Ne 5x5-Matrix mit recht vielen Nullen)...
28.08.2013, 19:47	Jaker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, werde es mal anschauen. Noch eine Frage die aufgetaucht ist zur Galoisgruppe betreffend Kreisteilungserweiterungen. Ich weiss, dass bei Kreisteilungserweiterungen die Galoisgruppe isomorph ist zu der multiplikativen Gruppe. Jetzt ist meine Frage, woher ich weiss wie diese aussieht. Ich weiss, dass gilt (Z/pZ)=Z/(p-1)Z Aber zum Beispiel im Fall (Z/16Z), weiss ich, dass die Gruppe 8 Elemente haben muss(mit der phifunktion). Aber woher weiss ich welche? Gibt es da auch eine Regel?
28.08.2013, 19:54	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} r \geq 3 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/2^{r-2}\mathbb Z \to (\mathbb Z/2^r \mathbb Z)^, (i,j) \mapsto (-1)^i5^j \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus von abelschen Gruppen. Zusammen mit der Tatsache, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p^r \mathbb Z \end{eqnarray*}$ für jede ungerade Primzahl zyklisch ist, und in Verbindung mit dem chinesischen Restsatz ist damit die Struktur jeder Einheitengruppe gefunden. PS: zyklotomische Polynom = Kreisteilungspolynome. Damit hat sich das ja mit der Galosigruppe der fünften Einheitswurzel erledigt.
28.08.2013, 20:19	Jaker	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mir das noch überlegt, wo ich die Aufgabe gelöst habe. Aber jetzt ist das klar. Noch eine letzte Frage zur Irreduzibilität: Ich habe in einem Buch gelesen, dass das Polynom $\begin{eqnarray} x^{4} + 2x^{2} + 6x+12 \end{eqnarray}$ irreduzibel ist. Und man sieht das durch Reduktion modulo 5. Jetzt weiss ich nicht genau was damit gemeint ist, bzw. ich kann nur raten: Wenn ich die Koeffizienten 6 und 12 modulo 5 (=1 und 2)rechne und dann die Werte 0,1,2,3,4 einsetze, bekomme ich nie Null. Ich kenne eigentlich nur Eisenstein. Kannst du das noch kurz aufklären.

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