Tennismatch "Best of 3" / "Best of 5" |
| 28.08.2013, 17:22 | SarSa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Tennismatch "Best of 3" / "Best of 5" Ich muss morgen vor der Klasse diese Aufgabe an der Tafel rechnen. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte ob der erste Teil der Aufgabe so richtig ist und ob es vielleicht auch einen kürzeren Weg gibt? Bei dem zweiten Teil der Aufgabe kann ich mir leider noch nicht einmal einen Ansatz denken. 
Über helfende Kommentare freue ich mich! 
Zwei Tennisspieler spielen "Best of 3", d.h. derjenige, der 2 aus 3 Sätzen gewinnt, gewinnt das Spiel. Spieler A gewinnt einen Satz zu 55% und Spieler B zu 45%. a) Wie viele Spiele müssen gespielt werden, dass es wahrscheinlich ist, dass beide wenigstens einmal gewinnen? Nun spielen die Spieler "Best of 5" (3 Sätze gewinnen für Sieg) und Spieler B hat den ersten Satz bereits verloren. Durch eine neue Taktik erhöht er seine Gewinnwahrscheinlichkeit auf X% (Wahrscheinlichkeit von Spieler B fällt dementsprechend). b) Wie groß muss X sein, damit dass Match fair (gleiche Gewinnchancen) ist? Meine Ideen: Baumdiagramm : p(A A) = 0,3025 p(A B A) = 0,1361 p(A B B) = 0,1114 p(B A A) = 0,1361 p(B A B) = 0,1114 p(B B B) = 0,2025 a) Erst berechne ich wie hoch die Wahrscheinlichkeit das Spiel zu gewinnen, für beide Spieler ist. p(Sieg Spieler A) = 0,5747 p(Sieg Spieler B) = 0,4253 Jetzt male ich ein Baumdiagramm. Nach 2 Spielen : p(jeder gewinnt mind. einmal) = 0,4888 Nach 3 Spielen : p(jeder gewinnt mind. einmal) = 0,7333 Nach 3 Spielen ist es wahrscheinlich (über 0,5), dass jedes Team wenigstens einmal gewinnt. b) Hier weiß ich leider gar nicht, wie ich anfangen soll. |
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| 28.08.2013, 18:20 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Tennismatch "Best of 3" / "Best of 5"
das rote B ist zuviel. Ansonsten sieht das gut aus. b.) Den ersten Satz hat A gewonnen. Das steht fest. Nun sind noch 2-4 Sätze zu spielen. Es ist also X=p so zu bestimmen, dass er nur noch mit Wkt = 0.5 gewinnt. Er gewinnt das Spiel, wenn er die restlichen Sätzen wie folgt gestaltet: 1.) A A 2.) A B A 3.) A B B A ( bekannte Pop-Gruppe aus Schweden 
)4.) B A A 5.) B B A A die entsprechenden Wkts werden addiert. Nur steht im Baumdiagramm an den Kanten keine Zahlen sondern (X) respektive (1-X) Und die Summe wird = 0.5 gesetzt. Bemerkung: wenn A den ersten Satz bereits gewonnen hat, warum muss er dann seine Taktik verbessern um auf 0.5 zu kommen? Oder heisst es: A hat den ersten Satz verloren ? |
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| 28.08.2013, 18:42 | SarSa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Tennismatch "Best of 3" / "Best of 5" Durch eine neue Taktik erhöht er seine Gewinnwahrscheinlichkeit auf X% (Wahrscheinlichkeit von Spieler A fällt dementsprechend). War ein Tippfehler. Danke für deine Antwort! Ich denke ich schaffe es jetzt X zu berechnen.
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| 28.08.2013, 18:48 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Tennismatch "Best of 3" / "Best of 5"
dachte ich mir. Du brauchst ja die Überlegungen nur sinngemäß anpassen...
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| 28.08.2013, 19:24 | SarSa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe jetzt doch noch ein Problem. Ich habe das Baumdiagramm gezeichnet und dann versucht x zu berechnen : Spieler A gewinnt -> Wkt. soll 0,5 0,5 = p(AA) + p(ABA) + p(ABBA) + p(BAA) + p(BBAA) 0,5 = (1-x)² + 2 ((1-x)² * x) + 2 ((1-x)² * x²) [Klammer nur zur Übersicht] 0,5 = 2*(x^4) - 2x³ -x² +1 |-1 -0,5 = 2*(x^4) - 2x³ -x² Kann ich x überhaupt so berechnen? |
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| 28.08.2013, 19:44 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
anscheinend nicht direkt. Wenn wir es noch vereinfachen, dann steht: Ich befürchte, dass hier die entscheidende Lösung im Intervall 0<x<1 numerisch bestimmt werden muss. Ein komplizierter Ausdruck mit mehreren Wurzeln sähe zwar schon aus, aber hier ist eine Dezimalzahl gesucht. Es genügt eine normale Genauigkeit. |
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| 28.08.2013, 20:12 | SarSa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für ihre Hilfe! Ich bin endlich auf ein Ergebnis gekommen : X=0,58 |
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| 28.08.2013, 20:20 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, X=58.0% ist richtig. Man hat nicht immer Fragesteller, die so fehlerlos arbeiten. Es genügt eine kleine Hilfestellung und das war es dann auch schon. 
Da kannst du wegen morgen in Ruhe das Nachtkissen drücken! 
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| 28.08.2013, 21:35 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt leider nicht, da fehlt die Kombination p(BABA) .
------------------ Grundsätzlich kann man sich viele Überlegungen vereinfachen, indem man (gedanklich) immer die Maximalzahl von Sätzen spielt, d.h. 3 bzw. 5 Sätze, gleichgültig ob einer schon 2 bzw. 3 Sätze gewonnen hat: Wer dieses "volle" Spiel gewinnt, hat auch das normale "reduzierte" Spiel gewonnen, und umgekehrt! Der Vorteil dieser Betrachtungsweise ist, dass man sich nicht mit länglichen Baumdiagrammen plagen muss, sondern direkt die Binomialverteilung zur Wahrscheinlichkeitsberechnung einsetzen kann. Funktioniert so ähnlich auf bei b): Spieler B muss von den vier Restsätzen mindestens drei gewinnen, um das Gesamtmatch noch zu gewinnen. Das geschieht mit Wkt es ist also zu lösen. Dasselbe wäre auch oben mit der ergänzten Gleichung
herausgekommen. P.S.: Ach ja, das Ergebnis ist dann . |
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| 28.08.2013, 22:34 | SarSa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, den einen "Weg" hatte ich übersehen!
Das verstehe ich leider nicht.
(das mit den binomial..)und bei mir kommt raus. |
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| 28.08.2013, 22:44 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, nochmal ausführlicher: Wir spielen gedanklich (!) alle 5 Sätze, auch dann wenn bereits einer drei Sätze eher gewonnen hat. Sieger ist dann der, der bei diesen 5 Sätzen mindestens drei Sätze gewonnen hat. Situation Aufgabenstellung b): Nachdem A den ersten Satz gewonnen hat, sind also noch vier Sätze zu spielen. Spieler B gewinnt nun das Gesamtmatch, wenn er mindestens drei der noch vier Sätze gewinnt. Die zufällige Anzahl der gewonnenen Sätze für B ist nun aber binomialverteilt , es gilt damit , und dieser Wert ist dann gleich 0.5 zu setzen und nach aufzulösen, genau wie bei dir (nur hattest du die Gewinnwahrscheinlichkeit von A betrachtet). P.S.: So richtig entfaltet diese Idee ihre Vorzüge bei "längeren" Matches wie etwa den "Best of Seven"-Serien im Eishockey. Wenn du dort mit Baumdiagramm anrückst, kannst du ganz schön fleißig Bäume malen - oder eben auf diese Idee mit der Binomialverteilung zurückgreifen.
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| 28.08.2013, 23:08 | SarSa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das verstehe ich leider nicht ganz, weil wir den Binomialkoeffizienten noch nicht behandelt haben. Wenn ich jetzt hier weiter mache, habe ich zwar den längeren Weg, aber dafür kann ich ihn besser nach vollziehen. 0,5 = (1-x)² + 2 ((1-x)² * x) + 3 ((1-x)² * x²) 0,5 = x²-2x+1 + 2(x³-2x²+x) + 3(x⁴-2x³+x²) dann komme ich im nächsten Schritt auf 2x! Aber die fehlen bei deiner Endgleichung. Aber was mache ich falsch? ______________________________________ Da sitze ich dann ne Stunde an dem tollen Baum. 
Jedoch kommt diese Binomialverteilung erst demnächst im Unterricht... |
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| 28.08.2013, 23:12 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, rechne nochmal nach, aber bitte mal konzentriert und gründlich, statt mehrfach das mit den falschen "2x" zu posten. |
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| 28.08.2013, 23:19 | SarSa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh man. Das war wirklich ein dummer Fehler, den ich immer wieder gemacht habe! 
Jetzt stimmt endlich alles. Vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld!
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| 28.08.2013, 23:59 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
tut mir leid, das mit dem BABA; ich hätte einfach nur ... machen müssen und wäre aus dem Schneider gewesen. Dass die Binomialverteilung noch nicht bekannt ist habe ich vermutet, und habe sie deshalb nicht erwähnt. Aber nun ist ja auch das geklärt ! |
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