Iterierte Radikale

28.08.2013, 20:05

Nachos

Iterierte Radikale

Hey,

Frage:
Ich habe eine Frage zu iterierten Radikale. Und zwar soll ich die Wurzeln des Polynom x^3+3x^2+x+1 mit Koeff. in Q durch iterierte Radikale ausdrücken.

Ideen:
Ich bin mir nicht sicher, ob mein Vorgehen richtig ist. Muss ich jetzt erstmal die Wurzeln des Polynom berechnen? Und dann baue ich so eine Reihe mit
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subseteq \mathbb Q(\sqrt[n]{x} \subseteq ....\mathbb Q(alle Wurzeln vom Polynom) \end{eqnarray*}$

Also ich komme nicht darum herum, die hässliche Formel anzuwenden, die mir die 3 Wurzeln ausspuckt?
Oder würdet ihr das anders angehen?

lg

01.09.2013, 18:16

Elvis

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Das ist keine "hässliche Formel" ... die Menschheit hat tausende von Jahren gesucht, bis Cardano im Jahre 1545 seine Formeln veröffentlichte.

01.09.2013, 19:03

thk

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x^3+3x^2+x+1=0

Vielleicht hilft dir diese Form der Lösung weiter:
$\begin{eqnarray*} x_1=-1+\sqrt[3]{-1+\frac{1}{9}\cdot \sqrt{57}}+\sqrt[3]{-1-\frac{1}{9}\cdot \sqrt{57}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-1-\frac{1}{2}\cdot \left(\sqrt[3]{-1+\frac{1}{9}\cdot \sqrt{57}}+\sqrt[3]{-1-\frac{1}{9}\cdot \sqrt{57}}\right)-j\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(\sqrt[3]{-1+\frac{1}{9}\cdot \sqrt{57}}-\sqrt[3]{-1-\frac{1}{9}\cdot \sqrt{57}}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=-1-\frac{1}{2}\cdot \left(\sqrt[3]{-1+\frac{1}{9}\cdot \sqrt{57}}+\sqrt[3]{-1-\frac{1}{9}\cdot \sqrt{57}}\right)+j\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(\sqrt[3]{-1+\frac{1}{9}\cdot \sqrt{57}}-\sqrt[3]{-1-\frac{1}{9}\cdot \sqrt{57}}\right) \end{eqnarray*}$

02.09.2013, 09:42

Che Netzer

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Zitat:

Original von Elvis
die Menschheit hat tausende von Jahren gesucht, bis Cardano im Jahre 1545 seine Formeln veröffentlichte.

Seine Formeln? Hatte er die nicht von jemandem "geklaut"? Tartaglia?
Soweit ich weiß, hatte dieser Cardano erlaubt, seine Formeln zu veröffentlichen, wenn darauf hingewiesen wird, dass er sie entdeckt hatte. Daran hatte sich Cardano aber nicht gehalten.

Oder bringe ich da irgendetwas durcheinander?

(ach ja, ich bin aber auch froh, dass ich die Formeln bisher nicht anwenden musste Augenzwinkern

)

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