Schwarzsches Spiegelungsprinzip

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12345678 Auf diesen Beitrag antworten »
Schwarzsches Spiegelungsprinzip
Meine Frage:
Hallo! Ich meine zwei Versionen vom Schwarschen Spiegelungsprinzip gehört zu haben, aber sie erscheinen mir widersprüchlich, darum meine Frage: Täusche ich mich, oder ist eine der beiden Versionen falsch?
Version 1: Ist O symmetrisch bzgl. der reellen Achse, und ist f auf O geschnitten mit der oberen Halbebene analytisch und auf dem Schnitt von O mit der reellen Achse stetig, so definiert die Spiegelung an einem Abschnitt der reellen Achse eine
neue analytische Funktion
.
Hier wird also ein Punkt aus der unteren Halbebene im Urbildraum einfach an der reellen Achse gespiegelt, mit f abgebildet und dann im Bildraum wieder an der reellen Achse gespiegelt.
Version 2: Fast genauso, hier wird der Punkt aus der unteren Halbeebene ebenfalls an der reellen Achse im Urbildraum gespiegelt, dann abgebildet,
im Unterschied zum vorigen Fall wird jetzt aber an nicht an der reellen Achse, sondern am Bild des Streckenabschnitts der reellen Achse gespiegelt.

Meine Ideen:
Vielleicht sind auch beide Versionen korrekt und liefern nur unterschiedliche fortgesetzte analytische Funktionen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwarzsches Spiegelungsprinzip
Zitat:
Original von 12345678
im Unterschied zum vorigen Fall wird jetzt aber an nicht an der reellen Achse, sondern am Bild des Streckenabschnitts der reellen Achse gespiegelt.

Was soll das denn heißen? Man kann an Geraden spiegeln oder von mir aus in Kreisen invertieren. Aber wie willst du die Spiegelung an einer beliebigen Kurve definieren?
Hast du für deine zweite Version irgendeine Quelle, die ich mir ansehen könnte?

Jedenfalls solltest du dich an den Identitätssatz erinnern.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, der Identitätssatz sagt mir, dass wenn die Funktion auf einer Menge mit Häufungspunkt übereinstimmen, schon identisch sind, also kann es keine verschiedenen Fortsetzungen geben?
Hm, naja in diesem Spezialfall war es so, dass das Bild eine Strecke war.
Das steht unter folgendem Link unter Publications, Diplomarbeit unter Punkt. 1.3.2, hab keinen Link gefunden der direkt darauf verlinkt.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn z.B. genau ein Geradenstück der reellen Achse enthält, kann es nur eine Fortsetzung auf die Spiegelung geben.

Einen Link sehe ich nicht...
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hier der Link https://www.uni-ulm.de/mawi/mawi-numerik...er.html?print=1
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Da wird mir die Datei nicht angezeigt, nach dem Klick auf "Diplomarbeit.pdf" kommt ein Error 404.
 
 
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nochmal sorry, habs nicht ausprobiert, bin davon ausgegangen dass der link zur diplomarbeit funktioniert.
Ich bin so auf die Diplomarbeit gekommen: Bei google Diplomarbeit multiplied domains eingeben, dann die erste PDF Datei, auf die konnte ich allerdings nicht verlinken, bzw. wenn ich draufgeklickt hab, hatts nur die Datei runtergeladen und nicht den Link angezeigt, darum hatte ich nach nem anderen link gesucht.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn das Bild des Geradenstücks wieder ein Geradenstück ist, kann man daran spiegeln.
Eigentlich macht man das in der "üblichen" Version auch. In der Diplomarbeit wurde beim Schwarzschen Spiegelungsprinzip nämlich vergessen, dass sein soll.

Aber irgendwie muss man an der Bildkurve halt spiegeln können...
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, aber so wie ich das verstanden hatte, muss nicht Teilmenge der reellen Achse sein, da es im weiteren Verlauf ja darauf hinausläuft, dass man durch erneutes Spiegeln an einer anderen
Achse des neuen Polynoms im Bildraum einen neuen Zweig erhält. Aber wenn ich immer an der reellen Achse spiegele, dann erhalte ich ja keinen neuen Zweig.
Also kann das nicht so präzise ausdrücken, aber bspw. in der Diplomarbeit die Abbildung "Figure 2.4" zeigt ja solche Spieglungen im Bildraum, und da ist ja nicht immer die reelle Achse die Spiegelachse?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Schon, aber im üblichen Schwarzschen Spiegelungsprinzip; also deiner Version 1 muss sein.
Wenn du z.B. spiegeln möchtest, würde das so nicht funktionieren, denn mit erhältst du offenbar keine holomorphe Fortsetzung; es müsste wieder auch in der unteren Halbebene herauskommen. Und das erhältst du übrigens, wenn du an spiegelt, was ja das Vorzeichen des Realteils umkehrt.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, ich glaube ich verstehe:
Also wenn ich bei deinem Beispiel Version 1 drauf anwende, bekomme ich für die untere Halbebene
raus, was aber falsch ist?
Aber Version 2 klappt, da das Bild von der reellen Achse die imaginäre Achse ist?

Also ist Version zwei die Verallgemeinerung von Version 1?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und sie funktioniert, wenn das Bild des entsprechenden Streckenstücks wieder ein Streckenstück ist.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, super, danke!
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage dazu: Hab das nun mal versucht mathematisch korrekt in einem Satz aufzuschreiben, bin aber nicht sicher ob ich irgendwo Murks gemacht hab dabei:

Sei ein bezüglich der reellen Achse symmetrisches Gebiet.
Sei analytisch auf . Sei nun ein Streckenabschnitt auf der reellen Achse.
Ist das Bild dieses Streckenabschnitts unter eine Strecke , so kann f auf
analytisch fortgesetzt werden und das Bild von unter
ist die Spiegelung vom Bild von unter an der Geraden, die enthält.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, d.h. man kann für als die Spiegelung von an definieren (bzw. an der entsprechenden Geraden).
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt doch noch mal eine Frage:
Muss ich noch zusätzlich fordern, dass f auf stetig ist?
Und könnte ich nicht Probleme mit "branch cuts" bekommen, weil wenn ich eine Funktion von der oberen Halbebene
auf die untere fortsetze, dann wär sie ja auf der ganzen komplexen Ebene definiert.
Aber das geht ja nicht unbedingt?

Edit: Also wäre auf der ganzen komplexen Ebene definiert, wenn bspw. zu Beginn auf der oberen Halbebene definiert ist.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 12345678
Muss ich noch zusätzlich fordern, dass f auf stetig ist?

Ja, klar. Steht ja auch meistens dabei.

Dein zweites Problem verstehe ich nicht ganz verwirrt
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja also mein eigentliches Problem ist, dass ich die 2.Version, wo sich das Bild spiegelt an
einer Achse, die nicht die reelle Achse sein muss -also die verallgemeinerte Version-
nirgends formal aufgeschrieben bzw. bewiesen finde.
Was ich jetzt konkret dachte, dass schief gehen könnte ist folgendes:
Ich habe eine auf der oberen Halbebene und der reellen Achse definierte Funktion f, die
stetig ist auf der reellen Achse und holomorph auf der oberen Halbebene.
Aber nun kann es ja sein, dass diese Funktion an sich nicht auf ganz C definiert werden kann, da sie dann multi-valued wird oder irgendwas kaputt geht. In der Standardversion wird dieses Problem
-wenn ich das richtig verstanden habe- dadurch ausgeschlossen, dass man fordert, dass die reelle Achse auf sich selbst abgebildet wird. Dies schließt Funktionen -anscheinend- aus, die sich nicht fortsetzen ließen.
Aber wodurch ist das in der neuen Version gegeben? Könnte es nicht passieren, dass
vom Prinzip her sowas wie die Wurzelfunktion (die geht hier natürlich nicht, bspw. weil sie nicht auf gerade Abschnitte
abbildet) auf der oberen Halbebene sinnvoll definiert ist, die Gewünschten Eigenschaften erfüllt, nicht aber auf die ganze komplexe Ebene fortgesetzt werden kann? Bzw. welche Bedingung verhindert dieses Problem?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sollte sie denn mehrwertig werden? Die Situation ist doch folgende:
Es ist eine Gerade gegeben und auf einer Seite der Geraden (inklusive ein Stück davon) ist eine Funktion definiert. Die wird dann auch auf einen Teil der anderen Seite der Gerade gespiegelt.
Nach einer einzelnen Spiegelung kann da keine Mehrwertigkeit entstehen verwirrt
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

hm ja schon, aber das heißt, das kann nur für Funktionen klappen, die potentiell zu ganzen Funktionen fortgesetzt werden können? Wodurch wird das gewährleistet, das ist ja eine ziemlich starke Einschränkung?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Na, durch die Voraussetzungen des Satzes wird das gewährleistet Augenzwinkern

Der Beweis zeigt ja, dass es dann auch funktioniert.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ok, ja bei der bekannten Version schon, aber diese Version, wo das Bild an einer Strecke im Bildraum gespiegelt wird, da finde ich eben keinen Beweis dazu, hab diesen Satz auch zum ersten mal in dieser Diplomarbeit gesehen in der Form und da wird er ja nicht bewiesen und eigentlich auch nicht exakt aufgeschrieben.
Ich hätte eine vage Idee, wie die allgemeinere Version aus der Standardversion folgen könnte, bin mir aber nicht sicher, obs klappt:
Also ich geh mal von der Standardversion aus, wo das Bild einfach an der reellen Achse gespiegelt wird.
Dann nehme ich an, dass ich in der SItuation bin, die in der verallgemeinerten Version vorausgesetzt wid, nämlich dass ich einen Abschnitt der reellen Achse habe, der auf ein Geradenstück abgebildet wird. Nun möchte ich das auf die einfachere Situation zurückführen: Ich hänge an die Abbildung noch eine Rotation / Translation dran, sodass
das Streckenstück auf der reellen Achse liegt. Das macht mir nix kaputt bezüglich Stetigkeit / Holomorphie, da
Rotation / Translation auch holomorph sind. Nun Kann ich die ursprüngliche Version des Schwarzschen Spiegelungsprinzips auf die komponierte Funktion anwenden, kann also die Abbildung entsprechend fortsetzen.
Nun kann ich wieder Zurück rotieren / verschieben und erhalte das Gewünschte.

Hm bin mir nicht sicher ob die Idee klappt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ginge wohl.
Oder du imitierst den üblichen Beweis und ersetzt die komplexe Konjugation an den richtigen Stellen durch die entsprechende andere Spiegelung.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke!
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! Ist zwar schon ein bisschen her, habe aber nochmal eine Frage zu dem Thema:
Hab hier einen scheinbaren Widerspruch und sehe nicht, wo der Fehler liegt:
Die Quadratwurzelfunktion im Komplexen kann ich ja holomorph auf der oberen Halbebene definieren durch Festlegung auf einen Zweig. Auf der reellen Achse ist die Funktion dann stetig, und das Bild der negativen reellen Achse ist (wenn ich diesen Zweig gewählt habe) die "positive imaginäre Achse". Nun dachte ich, ich kann die Funktion analytisch fortsetzen auf die untere Halbebene, indem ich jedes z so abbilde:
Ich spiegele an der reellen Achse, dann ziehe ich die Wurzel,
dann spiegele ich an der positiven imaginären Achse. Aber das kann ja nicht stimmen, da
ich dann ja die Wurzel zu einer ganzen Funktion fortgesetzt hätte.
Oder ist das schon möglich, nur erfüllt diese Fortsetzung dann auf der unteren Halbebene nicht mehr die Bedingung
?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild von unter dieser Wurzelfunktion ist ja aber keine Gerade, sondern hat einen "Knick" im Nullpunkt.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, es muss tatsächlich ganz auf eine Gerade abgebildet werden?
Ich dachte es genügt, wenn ein Streckenstück auf auf ein Streckenstück abgebildet wird
und ich könnte dann an den diese Streckenstücke beinhaltenden Geraden spiegeln.
Muss der gesamte Rand des zu spiegelnden Gebiets auf ein einziges Streckenstück abgebildet werden?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, denn darauf basiert ja der Beweis. Hier ist der Rand nach der Abbildung eine "Gerade mit rechtwinkligem Knick". Woran würdest du den Punkt (das Bild von ) spiegeln? An der reellen oder an der imaginären Achse?
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm verwirrt
Dass ich mich auf einen Zweig festlege klappt wieder wegen dem Identitätssatz nicht, weil es ja nur eine eindeutige Fortsetzung geben kann?
Sprich wenn ich bspw. sage ich spiegele immer an der imaginären Achse, dann bekomme ich Probleme, da wo die untere Halbebene mit der positiven reellen Achse zusammentrifft, weil da keine Stetigkeit mehr vorliegt, weil die
positive reelle Achse auf sich selbst abgebildet wird, aber direkt unter der positiven reellen Achse werden die Werte
in den Quadranten links oben abgebildet?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn du immer an der imaginären Achse spiegelst, könnte das Ergebnis nicht stetig auf der positiven reellen Achse sein.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja leuchtet mir ein.
Allerdings leuchtet mir dann ein Beweis den ich vorher glaubte verstanden zu haben nicht mehr ein Hammer
Aber das gehört wohl nicht mehr in diesen Thread, ich versuch mal drauf zu kommen wo mein Fehler liegt und mach falls ich nicht drauf komm mal dazu nen neuen Thread auf.
Auf jeden Fall danke für die Hilfe! Wink
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