Vektor als Linearkombination darstellen

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130ju7 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor als Linearkombination darstellen
Meine Frage:
Hallo,
ich habe 3 Vektoren gegeben. Nenne ich sie mal Vektor a= 7 1 3 Vektor b= 1 -2 1 und Vektor c= 3 -6 3 . Diese sollen auf lineare Unabhängigkeit/Abhängigkeit geprüft werden und wenn möglich den ersten Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.

Meine Ideen:
Mit meinem GTR hab ich die Matrix ausgerechnet und da kam heraus:
1 0 0 0
0 1 3 0
0 0 0 0
Ich denke, dass die Vektoren abhängig sind, weil nicht wie sonst beispielsweise herauskam:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Wie stelle ich dann die Linearkombination dar und ist meine Vermutung der Abhängigkeit richtig?
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektor als Linearkombination darstellen
Hallo,
was besagt denn die Definition der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit?
gruß
130ju7 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn in der Linearkombination nicht alle Koeffizienten gleich null sind sind die Vektoren linear abhängig. Aber woran erkenne ich, dass nicht alle gleich null sind, nicht an der letzten Spalte oder?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektor als Linearkombination darstellen
Zitat:
Original von 130ju7
Mit meinem GTR hab ich die Matrix ausgerechnet und da kam heraus:
1 0 0 0
0 1 3 0
0 0 0 0


die Idee ist richtig. Die sind lin. abhängig. Mit der 4. Spalte hat das nichts zu tun.

Es würde helfen, wenn du die notwendige Gleichung mal anschreiben könntest.

edit: eigentlich sind es ja 2 Aufgaben, umso wichtiger wäre es, die Matrix im Original verstehen zu können.
130ju7 Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Gleichung denn? Mir sind nur die oben genannten Vektoren gegeben.
Ich stehe gerade wirklich auf dem Schlauch.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

es sieht aus, als hättest du die Gleichung:

mit den Vektoren als Spalten in den GTR eingetippt.

Die 2.te Zeile ist nun:

s + 3t= 0, d.h. es müssen nicht alle r,s,t zugleich Null sein.

Man könnte z.B. t=1 wählen ....

Damit sind die Vektoren lin. abhängig. Soweit klar ?
 
 
130ju7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habe ich jetzt verstanden.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

sehr schön, das heisst aber nicht, dass jeder der Vektoren eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren ist, das kann so sein, muss aber nicht. !!

Bevor mir uns daran machen dass sein könnte (!) schauen wir mal auf

fällt da dir was auf ?
130ju7 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei beiden ist die erste und dritte Zahl jeweils gleich. Also bei Vektor b 1 und Vektor c 3 und beide haben jeweils in der Mitte eine Minuszahl.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

na ja, etwas dünn, wie wäre es mit lin. abhängigkeit?

edit: ist ?
130ju7 Auf diesen Beitrag antworten »

Vektor c ist ein Vielfaches von Vektor b und damit sind sie linear abhängig.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ok! damit entfällt die grosse Überprüfung ob eine Linearkombination von und ist.

Das ist eben der schnellere Weg.


Erklärung: die drei Vektoren "liegen" in einer Ebene. und "liegen" in einer Geraden. Demnach sind ,respektive eine Linearkombination der jeweils restlichen Vektoren, nur ist keine Linearkombination der restlichen Vektoren.

Nichtsdestotrotz könntest du

ansetzten.
130ju7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja Danke ich glaube ich habe verstanden. Vektor a kann eben kein Vielfaches von Vektor b und c sein und ist somit unabhängig von den beiden, oder?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

bitte nicht immer : oder?

Fasse jetzt die Überlegungen zu einer Aussage zusammen:

1.) die drei Vektoren sind lin. abhängig, weil ....

2.) ist keine Linearkombination der restlichen Vektoren, weil ...
130ju7 Auf diesen Beitrag antworten »

Die drei Vektoren sind linear abhängig, weil sie in eine Ebene liegen. Vektor a ist keine Linearkombination der anderen beiden, weil a nicht mit auf der Geraden liegt ?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

1.) ... sind l.a. weil nicht zwingend r=s=t=0 gilt.

2.) ist keine Linearkombination von , und , weil und schon lin. abhängig sind und von beiden Vektoren l.u. ist.

So müsste es wohl formulieren.
130ju7 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja danke, ich glaube jetzt bekomme ich die anderen Aufgaben hin.
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