Koordinatenabbildung bzgl. der Basis

03.09.2013, 16:32

küb

Koordinatenabbildung bzgl. der Basis

Meine Frage:
Hey Leute,

bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} V := \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}, a,b,c \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der oberen 2 x 2 Dreiecksmatrizen mit den Basen

$\begin{eqnarray*} \left\{ D_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \left\{ D_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Weiter sei die lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} L: V \to V, \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} c & b+c \\ 0 & a+b+c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gegeben.

a) Welche Dimension n hat der Vektorraum V?

Ich bin mir jetzt nicht sicher gewesen.
Also einerseits dachte ich, dass dim(V)=3, weil es jeweils 3 Matrizen in den Basen sind. Dann wusste ich nicht, ob ich jetzt doch sagen muss dim(V)=6 für beide Basen zusammen.
Und andererseits dachte ich, dass ich vielleicht die Spalten zählen muss und kam dann auf dim(V)=6, wo ich mir wieder nicht sicher war, ob ich beide Basen zusammenzähle und somit auf dim(V)=12 komme..

b) Bestimmen Sie die Koordinatenabbildung $\begin{eqnarray*} K_{D_1} : V \to \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$

Danach muss ich dasselbe mit D_2 machen, aber das sollte gehen, wenn ich weiß, wie ich diese Aufgabe löse smile

Wir haben heute nur Koordinatenvektoren berechnet. Ist es dasselbe?

Und wenn ja, weiß ich trotzdem irgendwie nicht, wie ich vorgehen soll..
Ich bräuchte vllt mal einen Ansatz..

Wäre echt dankbar für eure Hilfe.

Meine Ideen:

03.09.2013, 18:59

Elvis

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zu a) dim(V)=3 ist eine gute Idee. Die angegebenen Mengen sind offensichtlich Basen. Wenn es für dich noch nicht offensichtlich ist, musst du solange darüber nachdenken, bis es klar ist.
zu b) Steht in der Aufgabe wirklich $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ? Nicht vielmehr V ?? Welchen Sinn hätte sonst die lineare Abbildung L in dieser Aufgabe ???

03.09.2013, 20:08

Kathi_R

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Zu a)
Die Dimension müsste 3 sein, weil es 3 Basen gibt, mit deren Hilfe sich jede Matrix eindeutig darstellen lässt, oder?

Zu b) Die Aufgabenstellung ist richtig.

Im Tutorium haben wir das irgendwie spaltenweise berechnet.
Aber hier sehe ich auch nicht mehr durch...

Beide Matrizen werden ja durch Basisvektoren zu Koordinatenabbildungen. Dafür muss ich die gegebenen Matrizen irgendwie mit den Basisvektoren multiplizieren. Aber muss ich das mit jeder Basis einzeln machen? Und wie war das mit dem "spaltenweise"?

03.09.2013, 21:44

küb

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Ich hab das jetzt so gemacht:

$\begin{eqnarray*} v_1 := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , v_2 := \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , v_3 := \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L(v_1) = L( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \lambda_1 * \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 * \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 * \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dasselbe für $\begin{eqnarray*} L(v_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L(v_3) \end{eqnarray*}$ .

Dann komme ich insgesamt auf: $\begin{eqnarray*} K_{D_1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -\frac{1}{3} & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Könnte vllt jemand überprüfen, ob das so stimmt?

04.09.2013, 14:50

küb

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Kann es sein, dass ich damit nicht $\begin{eqnarray*} K_{D_1} \end{eqnarray*}$ sondern eine spätere Aufgabe: "Bestimmen Sie die darstellende Matrix $\begin{eqnarray*} L_{D_1} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ " berechnet habe?

04.09.2013, 18:33

Elvis

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1.) @Kathi_R: Die Basis $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ besteht aus 3 Vektoren, also ist $\begin{eqnarray*} dim(V)=3 \end{eqnarray*}$ .

2.) @küb: Das kann sein. Big Laugh

Die Matrix, die du berechnet hast, ist die Darstellungsmatrix zur linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} L:V\to V \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ . In den Spalten dieser Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ , das sind die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ mit Koordinaten in der Basis $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ . (Den 1. Spaltenvektor habe ich nachgerechnet, der stimmt, dann hast du das Prinzip verstanden, dann stimmt der Rest wohl auch - ich bin zu faul zum nachrechnen.)

3.) Was ist eine Koordinatenabbildung ? Das verrät uns Wikipedia: http://www3.math.tu-berlin.de/Vorlesunge.../Links/MATF.pdf
Daraus schließe ich, dass die Koordinatenabbildung so aussieht: $\begin{eqnarray*} K_{D_1}:V\to \mathbb R^3, x=a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Was hilft uns das ?

04.09.2013, 18:44

küb

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} K_{D_1}:V\to \mathbb R^3, x=a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur das hätte ich schreiben müssen?

Dem x wird jetzt also der Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zugeordnet.

Und laut dem Link:
Ziel:
Von einem beliebigen (abstrakten) endlichdimensionalen K-Vektorraum in den (konkreteren) K-Vektorraum Kn wechseln, da man dort leichter rechnen kann (viele Hilfsmittel).

04.09.2013, 19:00

Elvis

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Ja, sonst fällt mir im Moment nichts weiter ein. Der Trick bei einem Vektorraum der Dimension n ist, dass er sich genau so verhält, wie der $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ , d.h. V ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ , also kann man mit Koordinaten in K rechnen.

04.09.2013, 19:02

küb

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Na gut, dann danke ich dir vielmals smile

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