Skalarprodukt

04.09.2013, 16:40

Kathi_R

Skalarprodukt

Hey,

ich komme gerade mit Polynomen und dem Skalarprodukt nicht zurecht.

Ich habe 2 Polynome $\begin{eqnarray*} p=p_2x^2+p_1x+p_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=q_2x^2+q_1x+q_0 \end{eqnarray*}$ .

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \langle p,q \rangle _b = p_2q_0+q_1p_1+p_0q_2 \end{eqnarray*}$ kein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R _ {\leq 2} [x] \end{eqnarray*}$ ist

Dafür müsste ich zeigen, dass das Skalarprodukt entweder nicht symmetrisch, nicht linear oder nicht positiv definit ist. Aber ich habe keinen Ansatz, wie ich das zeigen soll. Und was bedeutet das kleine b hinter dem Skalarprodukt?

Kann mir jemand helfen?

04.09.2013, 16:48

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:

Dafür müsste ich zeigen, dass das Skalarprodukt entweder nicht symmetrisch, nicht linear oder nicht positiv definit ist.

Richtig. Für den Ansatz, wie du das zeigen sollst, solltest du erst einmal herausfinden, welche dieser Eigenschaften nicht erfüllt ist. Prüfe die Eigenschaften dafür einfach mal nach. Nimm dir also 2 beliebige Polynome $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R _ {\leq 2} [x] \end{eqnarray*}$ und prüfe, ob $\begin{eqnarray*} \langle p, q \rangle_b = \langle q,p \rangle_b \end{eqnarray*}$ . Das gleiche mit den anderen Eigenschaften. Wenn dir bei einer der Eigenschaften nicht klar ist, ob das stimmt oder nicht, lasse die erstmal aus. Wenn am Ende nur noch diese eine Eigenschaft übrig ist, scheitert es wohl genau an dieser. Für diese Suchst du dann ein Gegenbeispiel.

Für was das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ genau stehen soll, weiß ich auch nicht. Es ist sozusagen der Name ~~dieses Skalarprodukts~~ dieser Abbildung. Um es von dem Standardskalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle .,.\rangle \end{eqnarray*}$ zu unterscheiden, nennt man es $\begin{eqnarray*} \langle .,.\rangle_b \end{eqnarray*}$

04.09.2013, 16:49

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Was das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ soll, weiß ich nicht. Vergiß es!

Für die positive Definitheit sollte sich $\begin{eqnarray*} \langle p,p \rangle = {p_1}^2 + 2 p_0 p_2 \end{eqnarray*}$ immer als nichtnegativ erweisen. Ob das wohl sein kann ...

04.09.2013, 17:22

Kathi_R

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich probier es mal.

Symmetrie:

$\begin{eqnarray*} \langle p,q \rangle = p_2q_0+p_1q_1+p_0q_2 = p_0q_2 +p_1q_1 + p_2q_0 = q_2p_0 +q_1p_1 + q_0p_2 = \langle q,p \rangle \end{eqnarray*}$

Bilinear:

$\begin{eqnarray*} \langle p,q \rangle = p_2q_0+p_1q_1+p_0q_2 \\ p = x+y \\ (x+y)_2q_0+(x+y)_1q_1+(x+y)_0q_2 \\ = x_2q_0+x_1q_1+x_0q_2 + b_2q_0+b_1q_1+b_0q_2 \\ = \langle a,q \rangle + \langle b,q \rangle \end{eqnarray*}$
Analog dann für y = c+d

Positiv definit (muss ja dann falsch sein):

z.z.: $\begin{eqnarray*} \langle p,p \rangle \geq 0 \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} p_2p_0+p_1p_1+p_0p_2 = 2(p_2p_0)+p_1p_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(p_2p_0)+p_1p_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(p_2p_0) \geq -(p_1)^2 \end{eqnarray*}$

Zum Beispiel widerlegt für
$\begin{eqnarray*} p_0 = -2\\ p_1 = 1\\ P_2 = 1 \end{eqnarray*}$

Ein Gegenbeispiel gefunden, also kann die Bedingung nicht mehr zutreffen.

Ist das alles richtig?

04.09.2013, 17:36

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathi_R
Ist das alles richtig?

Welch ein Aufwand!
Worauf kommt es denn nur an?

Zitat:

Original von Kathi_R
$\begin{eqnarray*} \\ p = x+y \end{eqnarray*}$

Ein bißchen durcheinander ab hier. Zunächst ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schon als Polynomvariable vergeben. Und dann heißt es plötzlich weiter unten $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

Aber wie schon gesagt:

Welch ein Aufwand!
Worauf kommt es denn nur an?

04.09.2013, 17:48

Kathi_R

Auf diesen Beitrag antworten »

Na eigentlich nur auf die Aussage, dass sich ein Polynom finden lässt, so dass das Skalarprodukt kleiner als 0 werden würde. Da das ja nicht möglich ist, kann es sich nicht um ein Skalarprodukt handeln.

Ich wollte nur üben...für den Fall, dass ich mal zeigen soll, DASS es sich um ein Skalarprodukt handelt

04.09.2013, 18:18

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathi_R
Ich wollte nur üben...

Das kannst du auch auf dem "Schmierzettel" tun, in einer Musterlösung solltest du es aber bleiben lassen. Sonst erkennt man nicht, ob du weißt, worauf es ankommt. Ich würde da im Zweifel Punkte abziehen: wegen Undeutlichkeit der Argumentation.

04.09.2013, 18:25

Kathi_R

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke für den Tipp.

Und ich habe gleich noch eine weitere Frage...

Ich habe nun ein Skalarprodukt mit

$\begin{eqnarray*} \langle p,q \rangle = 2p_2q_2 + p_1q_1 + p_1q_0 + p_0q_1 + 2p_0q_0 \end{eqnarray*}$

und eine Basis

$\begin{eqnarray*} B = {b_1, b_2, b_3 } \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} b_1 = \frac {1}{sqrt{2}}x^2 b_2 = x-1 b_3 = x \end{eqnarray*}$

Nun soll ich zeigen, dass B eine Orthonormalbasis bzgl. des $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq 2}[x] \end{eqnarray*}$ ist.

Dafür muss ich doch folgendes zeigen, oder?
Die Basis besteht aus 3 Vektoren, die alle unabhänmgig von einander sein müssen, bzw. senkrecht aufeinander stehen sollen. Dafür berechne ich das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} (b_1,b_2) , (b_1,b_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_2, b_3) \end{eqnarray*}$ . Wenn da jeweils 0 rauskommt, stehen sie senkrecht aufeinander.
Und da sie auch alle die Länge 1 haben sollen, rechne ich die Norm eines jeden Vektors aus.

Habe ich das dann gezeigt oder fehlt da noch was?

Denn warum wurde extra das Skalarprodukt angegeben? Damit mache ich ja (in meiner Lösung) gar nichts... :-/

Als letztes soll ich dann eine Abbildungsvorschrift der Koordinatenabbildung $\begin{eqnarray*} K_B \end{eqnarray*}$ mit Aufgabenteil b angeben.

Meine Abbildungsvorschrift nimmt sich ja aus meinem Vektorraum ein Polynom und "wandelt" es in einen 3x1-Vektor um. Aber mir fehlt wieder ein Ansatz...
stelle ich eine Matrix aus meinen Basis-Vektoren auf? Oder eine LGS? Ich komme allmählich komplett durcheinander...

Liebe Grüße

04.09.2013, 18:45

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathi_R
Ich habe nun ein Skalarprodukt mit ...

Hast du nachgewiesen, daß ein Skalarprodukt vorliegt? Oder darfst du davon nach Aufgabenstellung ausgehen?

Zitat:

Original von Kathi_R
Denn warum wurde extra das Skalarprodukt angegeben? Damit mache ich ja (in meiner Lösung) gar nichts... :-/

Die Frage verstehe ich nicht. Wie willst du ohne Kenntnis des Skalarprodukts die Polynome $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ auf Orthogonalität prüfen?

05.09.2013, 17:22

Kathi_R

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich darf davon ausgehen, dass es ein Skalarprodukt ist.

(Wie zitiere ich eigentlich in einem Beitrag?)

Aaaaah...ich bin davon ausgegangen, dass ich die Orthogonalität mit $\begin{eqnarray*} \langle p,q \rangle = (\vec{p})^T \cdot \vec{q} \end{eqnarray*}$ berechne.
Aber ich habe ja oben eine andere Definition des Skalarprodukts...das heißt also, ich setze $\begin{eqnarray*} b_1 = p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2 = q \end{eqnarray*}$ und überprüfe, ob Null rauskommt.
Entsprechend dann mit den anderen Vektoren.

Ist das besser?

05.09.2013, 17:35

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich misch mich hier mal kurz ein, da Kollege küb gerade die gleiche Aufgabe hat:
Orthonormalbasis

Dein letzter Gedankengang ist gut und vielversprechend.

Zum Zitieren:
Die Quote-Tags

code:
1:	[quote] [/quote]

sind z.B. oberhalb des Eingabefelds zu finden.

Neue Frage »

Antworten »

Skalarprodukt

Verwandte Themen