Textaufgabe

07.09.2013, 11:07

Elvandy100

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Textaufgabe

Guten Morgen,

habe versucht gestern eine Aufgabe zu lösen und habe auch 2 Kollegen gefragt aber keiner weiß wie man die Aufgabe löst und jetzt will ich es unbedingt wissen wie man das macht =)

Habe es mit Prozentrechnen etc. Versucht aber nie das Ergebnis von 56,953 Liter erhalten.

Die Aufgabe lautet:

Aus einem 240 Liter Tank mit Alkohol werden 60 Liter Alkohol entnommen. Anschließend wird der Tank wider mit Wasser aufgefüllt.

Wie viel Alkohol ist im Tank wenn der beschriebene Vorgang 5 mal Wiederholt wurde ?

07.09.2013, 11:20

Equester

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Hast du eine Idee, was beim zweiten Mal passiert?
Gehe davon aus, dass sich Alkohol und das zugegebene Wasser vermischen, wenn du also wieder 60 Liter abschöpfst, ist das nicht nur Alkohol! Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2013, 11:40

Elvandy100

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Ja klar das ist mir schon klar !

Ich habe meine

240 l Alk 0 l Wa

180 l Alk 60 l Wa

Kann ich jetzt davon ausgehen wenn ich 60 Liter wegnehme das ich mehr alkohol als wasser in den 60 liter habe? eigentlich ja

Und zwar habe ich dann im 60 Liter Eimer 75 % Alk und 25 % Wasser, ist die Überlegung schon mal gut ? oder sogar richtig =)

und das bedeutet das ich nach dem ersten Eimer den ich von der mische nehme und wieder mit wasser auffülle noch:

135 l Alk 105 L Wasser habe ??

07.09.2013, 11:44

Equester

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Ja genau, das ist soweit richtig Freude

Freude

.
Der übersichthalber würde ich sogar das Wasser weg lassen. Es ergibt sich ohnehin immer aus 240-Alkanteil und ist ja nicht gefragt.

D.h. du hast 240 - 180 - 135

das kannst du nun fortfahren...

...oder du versuchst ein System zu erkennen. Schreibe dir die Rechenschritte hin und versuche eine Gesetzmäßigkeit zu erkennen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

07.09.2013, 12:00

Elvandy100

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Haha krass habe das richtige Ergebnis !

Aber musste das so rechnen wie ich das oben gemacht habe.

Hast du ein System erkannt ? bestimmt oder Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2013, 12:03

Equester

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Sehr gut

Freude

.

Folgendes System ist mir aufgefallen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n - \frac{a_n}{240}\cdot60 \end{eqnarray*}$

D.h. wenn ich wissen möchte, wie der Alkoholgehalt nach einer Schöpfung aussieht:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 240 - \frac{240}{240}\cdot60 = 240-60 = 180 \end{eqnarray*}$

Du kannst folgen? Du hast mit so etwas schon mal gearbeitet?

Kann man
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n - \frac{a_n}{240}\cdot60 \end{eqnarray*}$
vereinfachen?
So wie es dasteht ist es wenig hilfreich, da man immer eins nach dem anderen ausrechnen muss.
Wenn man vereinfacht erkennt man aber schnell eine Möglichkeit direkt den Alkoholgehalt nach 5 Abschöpfungen zu berechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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07.09.2013, 12:11

Elvandy100

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ah ja habe es verstanden und habe es auch ausprobiert klappt wunderbar =)

wäre aber nicht drauf gekommen obwohl es mir auf jeden fall klar ist.

Danke =)

07.09.2013, 12:20

Equester

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Dir ist auch klar, wie man weiter vereinfachen kann?

Da ich ohnehin gleich gehen muss:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n - \frac{a_n}{240}\cdot60 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n \left(1 - \frac{60}{240}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n \left(1 - \frac{1}{4}\right) \end{eqnarray*}$

Man kann das also auch zu $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 0,75a_n \end{eqnarray*}$ umschreiben.

Was nichts anderes ist als:

$\begin{eqnarray*} x_n = 0,75^n\cdot240 \end{eqnarray*}$

Man kann also direkt n=5 wählen und mit einer einzigen Eingabe in den TR erhält man das Ergebnis.

(Ich hoffe du konntest folgen, auch wenn es etwas Buchstaben/Formellastig war)

Wink

Wink

07.09.2013, 12:23

Elvandy100

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klar kann folgen =)

aber hätte ich nicht gedacht das man daraus so eine schöne formel machen kann =)

07.09.2013, 13:34

Marco12.

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Ich hätte noch 2 Fragen Equester ^^

steht das $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ für die erste Schöpfung?

und wie komme ich von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 0,75a_n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x_n = 0,75^n\cdot240 \end{eqnarray*}$

07.09.2013, 13:38

Equester

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Hi Marco

Augenzwinkern

Nein $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist die nächste Schöpfung.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n - \frac{a_n}{240}\cdot60 \end{eqnarray*}$

Hier brauche ich also Vorwissen bzgl der Schöpfung gerade eben, um eine Aussage über die folgende Schöpfung machen zu können.

Mit dem Wissen von gerade eben (s.o.) probiere die Antwort selbst zu finden.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 0,75a_n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x_n = 0,75^n\cdot240 \end{eqnarray*}$

Ich in derweil essen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

07.09.2013, 14:57

Marco12.

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<: ich komm nicht drauf

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ steht ja für den Anfangswert

und wie du gesagst hast wär $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ für die nächstes Schöpfung. das n+1 ist ja die Basis zu a oder?

Ich wiederhol grad das was schon gesagt wurde aber mir fällt jetzt nix mehr dazu ein verwirrt

verwirrt

07.09.2013, 15:02

Equester

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Da es heißt "Selbst ist der Mann" will ich dir nichts vorweg nehmen^^.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 0,75a_n \end{eqnarray*}$
Geh mal bis $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ . Bestimme also mal die ersten 3 Glieder, wobei $\begin{eqnarray*} a_0=240 \end{eqnarray*}$ ja bekannt ist.
Welche Schritte musst du immer gehen? Kriegst du da iwie die Verbindung zu
$\begin{eqnarray*} x_n = 0,75^n\cdot240 \end{eqnarray*}$ ?

07.09.2013, 15:20

Marco12.

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^^

beim ersten wären es ja 180
beim zweiten 135
beim dritten 101.25

also ich nehm das Ergebnis jedes mal 0.75 was bei dreimal auf 0.75³ bedeuten würde.

<: das meinst du wahrscheinlich ^^

07.09.2013, 15:22

Equester

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Genau das meine ich smile

smile

.

07.09.2013, 15:23

Marco12.

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Gott

und ich dachte es läuft wieder auf Umformung raus die ich nicht verstehe ^^

Danke Equester Wink

Wink

07.09.2013, 15:33

Equester

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Nicht immer so kompliziert gedacht Lehrer

Lehrer

Big Laugh

.

Gerne,

Wink

Wink

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