Alle Folgen x_n --> infty |
07.09.2013, 20:54 | Nighel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alle Folgen x_n --> infty Sei eine Folge mit und Mit gilt die Abschätzung Kann ich dann daraus schließen, dass auch gilt Dafür muss ich doch erst beweisen, dass es zu jeder Zahl eine Folgen gibt, mit und Hab ich das bewiesen indem ich sage mit ??? |
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07.09.2013, 21:33 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So wie die Aufgabe hier steht, ist die Aussage falsch. Gib bitte den gesamten Aufgabentext korrekt wieder. |
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07.09.2013, 21:57 | Nighel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Alle folgen x_n --> infty Es geht um den Beweis zur Äquivalenz von des Landau Symbols zu Siehe Anhang 1 (Druckschrift) Beim Beweis komme ich bei der Richtung auf den im ersten Beitrag genannten Schritt. Siehe Anhang 2 (Handschrift) Edit: im Anhang 2 ist das Intervall zu korrigieren zu |
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07.09.2013, 22:37 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welchen Schritt meinst du genau? Ich möchte mich jetzt nicht in dem kompletten Beweis reinfuchsen. Das hier(aus deinem ersten Beitrag etwas formaler aufgeschrieben): Seien und es gebe und eine Folge reeller Zahlen und mit für alle . Dann folgt: für alle . Stimmt nicht! Gegenbeispiel: für alle . Es gilt sicherlich für alle , aber natürlich nicht für alle , wobei a hier beliebig ist, da f natürlich unbeschränkt ist. |
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07.09.2013, 22:45 | Nighel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm mist stimmt... :S Es geht um den letzen schritt bei |
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07.09.2013, 23:08 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du brauchst aber eigentlich garkeinen Umweg über Folgen zu gehen. Gilt , so findest für alle ein , so dass für alle |
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07.09.2013, 23:17 | Nighel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In dem Buch "Analysis 1" von Otto Forster, ist aber mit Der Grenzwert für Funktionen wird also auf den Grenzwert für Folgen zurückgeführt. ist direkt gar nicht definiert worden als: Zu jedem gibt es ein , so dass |
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07.09.2013, 23:20 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dort steht mit Sicherheit nicht, dass es reicht, wenn dieser Grenzwert für eine einzige Folge existiert. |
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07.09.2013, 23:33 | Nighel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ne der soll für alle Folgen mit den Eigenschaften und existieren. Siehe Anhang |
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07.09.2013, 23:39 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ich kenne diese Definition, deswegen sagte ich dir ja, das es so, wie du schriebst, nicht stimmt. Es gibt aber andere äquivalente. Wenn du das unbedingt so machen möchtest, könntest du deinen Beweis ja vielleicht so modifizieren, dass die gewünschte Eigenschaft nicht nur für eine Folge, sondern für alle mit den richtigen Vorraussetzungen gilt. Ich weiß nicht, ob das bei dir geht, weil ich mir deinen Beweis wie gesagt noch nicht so genau angeschaut habe. |
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07.09.2013, 23:57 | Nighel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleich drücke ich mich mathematisch nicht konventionell aus. Ich habe aber überall nur die Eigenschaften und benutzt. Also gilt das alles für alle Folgen mit diesen Eigenschaften. Ich "meinte" auch nirgendwo, dass ich nur eine Folge finden muss für die der Grenzwert existiert. Heißt "In dem Buch "Analysis 1" von Otto Forster, ist aber mit " dass das nur für eine explizite Folge gelten muss? Ich hätte jetzt gedacht dass man schreiben muss, wenn man sagen will, dass das nur für eine Folge gelten muss: falls eine Folge existiert mit lim x_n = \infty .... und lim f(x_n) < \infty... |
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08.09.2013, 00:04 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zuerst mal zu deinem Problem:
Gut, dann musst du das explizit aufschreiben, dass du dir nicht eine Folge raussuchst, sondern, dass das gewünschte für alle Folgen mit diesen Voraussetzungen gilt. Das muss da explizit stehen (tut es ja in der alten Version nicht). Jetzt zu der Definition. Wenn der Limes für alle Folgen mit den genannten Voraussetzungen existiert. kannst du dir eine einzige beliebige Folge raussuchen, um den Grenzwert tatsächlich zu berechnen. Damit dass funktioniert, muss die Existenz des Grenzwerts aber erstmal gesichert sein(eben zum Beispiel dadurch, dass man weiß, dass er für alle Folgen existiert). |
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08.09.2013, 00:39 | Nighel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du denn einen Vorschlag wie ich aus mit und für alle Folgen mit den Eigenschaften und darauf schließen kann, dass gilt? |
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08.09.2013, 00:50 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gewöhne dir an, genau zu schreiben. Was du hier
eigentlich schreiben willst, ist: Es existiert mit . Nun, nimm mal an, das wäre nicht der Fall, es gäbe also für alle ein , so dass . Baue dir jetzt selbst eine Folge zusammen: Wähle nach obiger Annahme , sodass und . Fällt dir damit was auf? |
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08.09.2013, 02:44 | Nighel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstehe. Ich mache jetzt die Annahme für alle gibt es ein , so dass . Diese Annahme führe ich zum Wiederspruch. D.h. es existiert ein für dass es kein gibt, mit . Aber wenn ich mir jetzt eine Folge baue zeige ich dass doch nicht für alle . Hab jetzt einfach mal einen Versuch gewagt Sei wegen gilt für für alle Folgen mit Aber jetzt steh ich doch vor dem selben Problem. |
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08.09.2013, 12:30 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast das ja auch nicht so gemacht, wie ich vorgeschlagen hatte:
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08.09.2013, 12:51 | Nighel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahh ! Nach Annahme gibt es zu jedem mit ein , so dass . Sei die Folge dieser x. Es gilt also Es gilt aber wegen . Also ein Wiederspruch. Also existiert so dass gilt mit |
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08.09.2013, 12:54 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Edit: Dein Edit ist nicht so toll.. vorher war es gut, danach wieder nicht. |
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08.09.2013, 12:55 | Nighel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danköschön! Edit: Ok, habs wieder weg gemacht |
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08.09.2013, 13:11 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich möchte das jetzt nochmal zusammenfassen: Wir haben: Für jede Folge mit gibt es mit für alle . Dieses hängt aber von der Folge ab, es gibt kein allgemeingültiges für alle Folgen. Jetzt nehmen wir an, dass folgendes nicht gilt: Es gibt , sodass für alle gilt . Dann können wir aber folgendes machen: Wir finden zu immer ein zugehöriges mit . Betrachte nun die Folge dieser . Offenbar gilt wegen für alle . Diese Folge erfüllt also die Voraussetzungen. Dann finden wir ein zu dieser Folge gehörendes mit für alle , was ein Widerspruch zur Konstruktion der Folge ist. Worauf ich jetzt insbesondere hinauswill (und was der Grund ist, warum mir dein Edit nicht gefiel) ist, dass man daraus nicht folgern kann, dass die gewünschte Ungleichung bereits für alle gilt (wobei hier das zur konstruierten Folge gehörende ist). Das hattest du so geschrieben und stimmt eben nicht. Es gibt uns lediglich einen Widerspruch zu obiger Annahme, dass kein existiert, mit für alle . Das bedeutet, dass so ein auf jedenfall existiert. Es kann aber viel größer sein, als das konstruierte . |
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08.09.2013, 13:31 | Nighel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jo ok seh ich ein! Danke noch mal! |
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09.09.2013, 16:04 | Nighel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab hier noch einmal versucht die Beweisführung ausführlich aufzuschreiben für einen relativ analogen Beweis zum Landau Symbol O. Ich bin mir aber nicht sicher ob ich das mit dem Wiederspruch richtig gemacht habe. Wär cool wenn du es dir noch einmal anguckst! Seien und eine Folge mit und und es gelte mit für alle Folgen mit diesen Eigenschaften mit und . Wobei von abhängt. Ich will nun zeigen, dass es ein gibt, so dass mit Beweis. Sei Ich nehme an, dass kein gibt, so dass Es gibt also für alle ein so dass Sei nun und die Folge der für die gilt , so folgt und . Nach Vorraussetzungen gibt es aber ein so dass . Also ein Wiederspruch. Daraus folgt, dass ein existiert, so dass mit , also die Behauptung. |
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