Orthonormalisieren

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küb Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalisieren
Meine Frage:
Hey Leute,
könnte mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?

[attach]31405[/attach]

Ich dachte, ich kann die Spalten von A als bezeichnen und dann rechnen:

und dasselbe für .

Dann hätte ich eine 2x2 Matrix als Ergebnis.

Dann dasselbe für B und C.

Geht das so?

Meine Ideen:
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube nicht, dass das so geht. Wenn du lineare Algebra verstehen willst, musst du dich einmal fragen, was ein Vektor ist. Nur wenn du diese Frage richtig beantworten kannst, hast du eine Chance, zu verstehen, was Mathematik ist.
Kathi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, ich würde es gerne verstehen...
Also, ein Vektor: ein Vektor ist erstmal ein Element eines Vektorraums. Das kann ein Raum von Polynomen oder einfach von n-Tupeln sein. Ein Vektor kann mit Hilfe von Pfeilen dargestellt werden. Also ist ein Vektor eindimensional (?).

Ist es das, worauf du hinauswolltest?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kathi_R
Hey, ich würde es gerne verstehen...
Also, ein Vektor: ein Vektor ist erstmal ein Element eines Vektorraums.


genau so ist es

Zitat:
Original von Kathi_R
Hey, ich würde es gerne verstehen...
Ein Vektor kann mit Hilfe von Pfeilen dargestellt werden. Also ist ein Vektor eindimensional (?).

genau so ist es nicht

Danke Kathi_R für deinen ebenso richtigen wie falschen Beitrag. Big Laugh Hier hast du beispielhaft gezeigt, dass du alles verstanden und nichts begriffen hast. Augenzwinkern Bitte schreibe 200 mal "ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums". Dann musst du das nur noch glauben und nie wieder vergessen. Der Rest der Aufgabe ist dann (und nur dann) kinderleicht.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

"ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums"

Okay, ich glaube dir das einfach mal, ohne es 200x aufzuschreiben Big Laugh

Hättest du einen Tipp für mich, wie ich an die Aufgabe rangehen soll?

Muss ich vielleicht A=a1 setzen und dann

?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

200 mal aufschreiben wäre besser gewesen. Augenzwinkern In der Aufgabe steht deutlich, dass der Vektorraum ist, seine Elemente sind die Vektoren um die es geht, das sind 2x2-Matrizen !!!
Vektoren sind nicht reelle Zahlen oder Spaltenvektoren von Matrizen. EIN VEKTOR IST EIN ELEMENT EINES VEKTORRAUMES, also hier eine 2x2-Matrix.

Damit das Verfahren starten kann, nehmen wir den Vektor , dann ist , also .
 
 
Kathi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok.
Also ein Vektor ist ein Begriff für die Elemente des Vektorraums.
Man sollte vllt versuchen, das schon in der Schule zu vermitteln...na gut, vllt wird das ja auch gemacht. Aber da man dort ja nur mit eindimensionalen Vektoren arbeitet, hat sich das bei mir so festgesetzt.
ich hoffe, ich hab es jetzt ausgebügelt. ;-)

Aber warum ist die Norm von A nicht die Wurzel aus der Summe Quadrate der einzelnen Elemente? Das wäre dann 6. Aber so, wie du das angegeben hast, wäre es ja Wurzel von 2, wenn ich mich nicht irre?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematik ist nicht das, was in der Schule gemacht wird, und das aus gutem Grund. Es gibt Mathematiker, die Mathematik verstehen; es gibt fast keine Nichtmathematiker, die Mathematik verstehen. Trotzdem soll jeder Mensch die Chance haben, Mathematik zu verstehen und zu benutzen, deshalb wird ein kleines bißchen Rechentechnik in der Schule gelehrt. Wer es nicht versteht, dem wird es nicht schaden; wer es versteht, dem wird es nützen.

EIN VEKTOR IST EIN ELEMENT EINES VEKTORRAUMES. Ein Vektorraum hat eine Basis, je zwei Basen eines Vektorraumes haben dieselbe Mächtigkeit, das ist die Dimension des Vektorraums . Ein Vektor ist kein Vektorraum, also gilt: EIN VEKTOR HAT KEINE DIMENSION.

Die Norm eines Vektors in einem Skalarproduktraum ist definiert als . Das hat nichts mit Koordinaten oder hier im Beispiel mit Koeffizienten in einer Matrix zu tun.

Verrechnet hast du dich auch noch, denn zufällig stimmt die hier definierte Norm immer mit der Wurzel aus der Quadratsumme der Matrixelmente überein :

Das nützt aber im Orthogonalisierungsverfahren wenig, weil dort immer Skalarprodukte und nicht nur Normen benötigt werden.
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