Gesetze der Aussagenlogik

10.09.2013, 16:34

Theend9219

Gesetze der Aussagenlogik

Kurze Frage:
Warum ist

$\begin{eqnarray*} A \wedge (A \vee B) = A \end{eqnarray*}$ ?

Mir ist klar, dass $\begin{eqnarray*} A \wedge (A \vee B) = (A \wedge A) \vee (A \wedge B) \end{eqnarray*}$ ist
und das $\begin{eqnarray*} A \wedge A = A \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} A \wedge (A \vee B) = (A \wedge A) \vee (A \wedge B) = A \vee (A \wedge B) \end{eqnarray*}$

?

Ich hoffe jemand kann mir helfen.. Shellyy

10.09.2013, 16:37

Iorek

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Was muss denn wahr sein, damit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wahr ist, was muss (mindestens) wahr sein, damit $\begin{eqnarray*} A\wedge B \end{eqnarray*}$ wahr ist?

10.09.2013, 16:45

Theend9219

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Bevor ich deine Frage beantworten kann noch mal eine Verständnisfrage von mir:
Habe ich das richtig verstanden, dass

$\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ : bedeutet das "logische oder" . Im Beispiel $\begin{eqnarray*} A \vee B \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zwei Aussagen sind und die Aussage $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wahr ist und die Aussage $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ falsch ist. Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} A \vee B \end{eqnarray*}$ habe dann kann ich sagen, dass es $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sein kann.. Es kann ja wahr oder falsch sein ..
Und in Lösungen steht, dass es dann wahr ist und erst dann wenn beide Aussagen falsch sind $\begin{eqnarray*} A \wedge B \end{eqnarray*}$ auch falsch ist .. das verstehe ich nicht.
oder sehe ich das vollkommen falsch?

10.09.2013, 16:55

Iorek

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Um welches Zeichen geht es dir jetzt, einmal hast du $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ , einmal hast du $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ ...

$\begin{eqnarray*} A\vee B \end{eqnarray*}$ ist wahr, wenn (mindestens) $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wahr ist.

10.09.2013, 17:00

Theend9219

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Upps das muss anders heißen..
Danke..

Aber woher weiß ich dann ob A oder B wahr sind verwirrt

in der Klammer)

10.09.2013, 17:07

Iorek

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Das weißt du nicht, $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ sind irgendwelche Aussagen. Du kannst aber für jede Kombination von Wahrheitswerten sagen, ob $\begin{eqnarray*} A\vee B \end{eqnarray*}$ wahr oder falsch ist.

10.09.2013, 17:14

Theend9219

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RE: Gesetze der Aussagenlogik
Danke für deine Antwort.

Zitat:

Original von Theend9219

$\begin{eqnarray*} A \wedge (A \vee B) = A \end{eqnarray*}$ ?

Ja aber wie gehe ich denn dort vor?
Ich weiß ja nicht was wahr oder falsch ist ..

Liebe Grüße

10.09.2013, 17:18

Iorek

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Dann sieh dir jetzt nochmal meine erste Frage an:

Zitat:

Original von Iorek
Was muss denn wahr sein, damit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wahr ist, was muss (mindestens) wahr sein, damit $\begin{eqnarray*} A\wedge B \end{eqnarray*}$ wahr ist?

Du hast das ja schon umgeformt zu $\begin{eqnarray*} A\vee(A\wedge B) \end{eqnarray*}$ , damit diese Aussage wahr ist, muss mindestens eine der beiden Teile wahr sein. Also kann man sich mal $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\wedge B \end{eqnarray*}$ ansehen.

18.09.2013, 10:28

Theend9219

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Heey

also $\begin{eqnarray*} A \wedge B \end{eqnarray*}$ ist wahr, wenn sowohl $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wahr sind. Das Problem ist, das ich das logische "oder" immer als ein "es ist das" ODER "das" sehe... Und daher finde ich keinen Zugang ...

liebe Grüße..

18.09.2013, 11:50

lgrizu

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Ich sage hierzu einmal etwas:

Zitat:

Original von Theend9219
Bevor ich deine Frage beantworten kann noch mal eine Verständnisfrage von mir:
Habe ich das richtig verstanden, dass

$\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ : bedeutet das "logische oder" .

In der Aussagenlogik ist das noch richtig, allgemeiner wird durch $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ eine Ordnungsrelation definiert, also die beiden Operationen inf und sup, srich Infimums und Supremumsbildung. das findest dann in der Mengenlehre ihre Analogie in der Schnittmenge und der Vereinigung.
Es entspricht also $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ dem Infimumsoperator und $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ dem Supremumsoperator.

Für den Beweis benötigen wir "nur"

1.) Distributivgesetze (hast du geschrieben,dass sie dir klar sind)

2.) Absorbierende Eigenschaft der 0 (die können wir als "falsch" interpretieren, also $\begin{eqnarray*} a \vee 0=a \end{eqnarray*}$ )

3.) $\begin{eqnarray*} a \wedge 0=0 \end{eqnarray*}$

Dann ist das ganze ein Einzeiler:

$\begin{eqnarray*} a=_{2.)} a \vee 0=_{3.)}a \vee (b \wedge 0)=_{1.)}(a \vee b) \wedge (a \vee 0)=_{2.)}(a \vee b) \wedge a \end{eqnarray*}$

Das von dir geforderte Absorbtionsgesetzt geht ganz analog.

Das mathematische oder ist kein "entweder oder" sondern ein "das eine oder das andere oder beide".

Eine Aussage A oder B ist also genau dann wahr, wenn A wahr ist oder B wahr ist oder beide wahr sind.

Das führt auf die Frage von Iorek zurück, was denn mindestens wahr sein muss, damit A oder B auch wahr ist

22.09.2013, 14:18

Adramelec

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Ich hatte am Anfang auch Probleme, dass ich ja nicht "wusste" was wahr oder falsch ist.

Daweil ist völlig irrelevant was es denn wirklich ist, den prinzipiell kann sowohl a als auch b sowohl wahr als auch falsch sein.

Du musst nur herausfinden, was benötigt wird, damit der komplette Term wahr ist. Und naja, das logische oder hast du schon richtig formuliert, es muss mindestens eines wahr sein (völlig egal, wieviele dann mit einer disjunktion verbunden sind)..

Vielleicht hilft das auch nochmal smile

16.11.2013, 15:00

Theend9219

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Hey ihr beiden! Vielen Dank für Eure Antwort. Jetzt ist mir das klar. Ich hatte wie Adramelec schon sagte schwierigkeiten damit zu finden was wahr und was falsch ist..
Dankeschön das ich es jetzt beherrsche Augenzwinkern

Liebe Grüße

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