Rekursive in explizite Form umwandeln

11.09.2013, 12:07	Lovo	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive in explizite Form umwandeln Hallo, Ich soll eine Wertetabelle der geometrischen Folge erstellen für n=1 bis n=5 und das hundertste Folgenglied. Geg: a1= 6 , q=3 Mein Ansatz: Rekursive Formel: $\begin{eqnarray} a_{n} + 1=3a_{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{1}=6 <br /> a_{2}=18 <br /> a_{3}=54 \end{eqnarray*}$ usw.. klar ist das es logischerweise immer um Faktor 3 größer wird. Wie komme ich nun auf die Explizite Form für das 100ste Glied? Der Anfangswert muss ja rein und Faktor 3. Gibt es da ein Schema wie man vor geht? gruß
11.09.2013, 12:42	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive in Explizite Form Umwandeln Schreibe dir die ersten Werte für $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ in Faktoren hin, ohne auszumultiplizieren. Also: $\begin{eqnarray} a_1=23 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2=233=23^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_3=2333=23^3 \end{eqnarray}$ usw. Jetzt eine Formel für $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ erraten, z.B. $\begin{eqnarray} a_n=23^? \end{eqnarray*}$ und mit "Vollständiger Induktion" deren Richtigkeit beweisen.
11.09.2013, 12:44	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn von $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ ? Indem du mit drei multiplizierst Und von $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} a_3 \end{eqnarray}$ ? Indem du wieder mit drei multiplizierst Und von $\begin{eqnarray} a_3 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} a_4 \end{eqnarray}$ ? Indem du erneut mit drei multiplizierst ... Wie oft hast du denn bis hierher mit drei multipliziert? Und wie oft wird das sein,. wenn du bis $\begin{eqnarray} a_{100} \end{eqnarray}$ kommen willst? Lg kgV edit: yours, zyko
11.09.2013, 21:01	Lovo	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke das war ja dann wohl einfacher wie ich dachte Nochmal zur sicherheit: Rekursive Form: $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{-2}{5} a_{n} \end{eqnarray}$ Explizite Form= $\begin{eqnarray} (\frac{-2}{5})^{n} * 5 \end{eqnarray*}$ ? gruß
11.09.2013, 21:05	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man pauschal nicht sagen... Welche Werte hast du denn gegeben?
12.09.2013, 10:33	Lovo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist. a1= 5; q= -0,4
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12.09.2013, 12:41	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Fall stimmt deine Form nicht: Wenn du nach der rekursiven Darstellung $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ berechest, erhältst du - $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ Verwendest du aber deine Darstellung, ist $\begin{eqnarray} 0.8 \end{eqnarray}$ das Ergebnis. Das ist aber das $\begin{eqnarray} a_3 \end{eqnarray}$ der rekursiven Darstellung. Mit einem Wort, du bist immer einen Schritt voraus. Demnach musst du den Exponent ein wenig modifizieren, sodass anstatt 2 dann 1 und statt 3 dann 2 dasteht. Wie du das bewerkstelligst, weißt du, oder ?
12.09.2013, 17:13	Lovo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja klar. Exponent muss n-1 sein. Nochmal vielen Dank KgV. Schönen Abend noch :-)
12.09.2013, 20:18	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Jawoll, $\begin{eqnarray} a_n=5\cdot\left(-\frac{2}5\right)^{n-1} \end{eqnarray}$ ist richtig. Schönen Abend gleichfalls und gern geschehen

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