Unverständnis bei mathematischem Schritt in Paper

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Helikopter Auf diesen Beitrag antworten »
Unverständnis bei mathematischem Schritt in Paper
Meine Frage:
Hej,
ich verstehe in einem Paper einen mathematischen Schritt nicht, der aber essentiell für meine Masterthesis ist.
Könnt ihr mir vielleicht helfen?

Habe einfach mal den relevanten Ausschnitt ausgewählt.
Konkret geht es um die zweite Formel in der plötzlich der Logarithmus auftaucht.
[attach]31421[/attach]
Vielen vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!
Gruß
Helen

Meine Ideen:
Haben die einfach die erste Funktion auf beiden seiten logarithmiert und dann differenziert? Wenn ja, warum?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum das gemacht wird, können wir dir hier kaum beantworten.

Aber rein mathematisch gesehen passiert folgendes:

Zunächst wird umgeformt:

(Davon, dass die Gleichheit wirklich gilt, solltest du dich selbst überzeugen).

Nun wird logarithmiert, dann noch die Näherung genutzt (Das kann man vertreten, denn soll "klein" sein) und danach wird differenziert.
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Du bist aber flott! DANKE schonmal!
Bin mir leider nicht sicher, ob ich alles richtig verstanden habe.
[attach]31422[/attach]
Kannst du vielleicht nochmal drüber gehen und im Notfall nochmal etwas weiter ausholen.
Tausend Dank vorab!
Gruß
Helen

Du bist bereits als Helikopter angemeldet. Wir bitten dich um eine Rückmeldung, warum du mehrere Accounts angelegt hast, um Fehlleitungen in unseren Eingabemasken/Boardstruktur überarbeiten zu können.

Vielen Dank,
dein MatheBoard-Team
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar gilt



Logarithmieren ergibt



Im letzten Summanden kann man den Logarithmus für kleine in einer Taylorreihe bis zur 1.Ordnung entwicklen gemäß (Die nullte Ordnung verschwindet hier.) Das ergibt




Im letzten Summanden werden die Variablen und eingeführt



Differenzieren nach der Zeit ergibt mit Anwendung der Produktregel im letzten Summanden



Da laut Voraussetzung der Ausdruck klein sein soll, kann man den letzten Summanden vernachlässigen und erhält das Gewünschte



Anstelle nach der Zeit t kann man natürlich auch nach einer anderen Größe differenzieren.
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Ich muss zugeben, dass ich den Sinn dieses Modells nicht verstanden habe.
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Oh großartig! Hab vielen lieben Dank. Damit kann ich sehr viel anfangen!!! Freude
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Umformung
Hej,
leider komme ich in dem Model nicht wirklich weiter. Ich habe mein Problem mal separat in einem dokument erfasst.
[attach]31431[/attach] [attach]31432[/attach]
Ich wäre dir sehr dankbar Gott wenn du mal drüber schauen könntest.
Viele Grüße
Helen
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sich kein anderer findet, leite ich dir die Formeln morgen gerne ab. Zur Zeit kann ich nicht antworten, weil das Netz bei mir extrem langsam ist. Liegt das eventuell am Matheboard? Alles andere läuft bei mir gut...
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Herleitung der Formel für "Hochqualifizierte" (Das ist deine erste rot markierte Formel)
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Ausgangspunkt ist deine Gleichung



Differenzieren liefert



Wir dividieren diese Gleichung durch die erstere Gleichung und erhalten



Die Größen sind verkettete Funktionen gemäß und

Beim Differenzieren dieser Größen nach der Zeit muss man also die 1-dimensionale bzw. 2-dimensionale Kettenregel anwenden:





Einsetzen in die obige Gleichung liefert



Umordnen liefert



Wir erweitern den 2.Summanden mit und den 3.Summanden mit



Für beliebiege Funktionen f, g gilt die Formel . Damit formen wir die beiden Summanden in der Klammer sowie den 3.Summanden um. Die anderen Quotienten drücken wir mit der allgemeinen Formel aus. Das ergibt



Das ist die gewünschte Formel für "Hochqualifizierte".

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Die Herleitung der Formel für "Niedrigqualifizierte" läuft im Prinzip genauso!
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Lieben Dank smile
Ich versteh aber nicht warum du nach t ableitest, da die Zeit in dem Modell gar nicht vorkommt. Der Lohn ist zum Beispiel vom Arbeitsangebot und der Arbeitsnachfrage abhängig. verwirrt
Mal ne andere Frage: wenn ich z.B. d ln x habe, was ist dass? ist dass eine marginale Änderung der Bevölkerung oder z.B. eine Wachstumsrate? Hab mit dem Logartihmus echt so meine Probleme.
Ist dass was ich da vorgeschlagen habe, totaler Humbug?
Danke dir!
Gruß
Helen
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich in meinem gestrigen Beitag schrieb, musst du nicht nach der Zeit ableiten, sondern kannst eine beliebige andere Größe nehmen. Ich arbeite lieber mit "echten" Ableitungen als mit dem Differenzial df.

Zur Motivation des Logarithmus:
Die erste Ableitung nach der Zeit gibt bekanntlich an, wie schnell sich die Größe N ändert. Wenn N die Bevölkerungszahl bezeichnet, so ist das Bevölkerungswachstum. Oft ist man aber nicht an dem absoluten Wachstum interssiert, sondern am relativen Wachstum , also an der Zunahme der Bevölkerung pro Bevölkerungsmenge. Genau diese relativen Zuwächse spielen in deinem volkswirtschaftlichen Modell eine Rolle.

Der Logarithmus kommt nur dadurch in die Formeln hinein, weil allgemein gilt



Du kannst aber auch den Quotienten auf der rechten Seite stehen lassen und so den Logarithmus vermeiden. Das scheint mir sogar von Vorteil, weil dadurch das "Relative" besser zum Ausdruck kommt wird.

Wie du richtig sagst, meint "df" eine kleine Änderung - also klein im Vergleich zu f.
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