Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten

11.09.2013, 19:19

Blerim

Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten

Meine Frage:
Hallo, ich verstehe nicht wie ich diese Aufgabe rechen soll?

\sqrt{a/b*\sqrt{b/a*\sqrt{a/b} } }

Meine Ideen:
Mit der Potenzumformung klappt es auch nciht?

11.09.2013, 19:20

Blerim

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{a/b*\sqrt{b/a*\sqrt{a/b} } } \end{eqnarray*}$

11.09.2013, 19:31

sulo

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Wandle die Wurzeln in Exponenten um, dann wird es einfacher.

Und dann löse von innen nach außen die Klammern auf.

smile

11.09.2013, 21:22

Blerim

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Das geht irgendiwie nicht.

11.09.2013, 21:23

sulo

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Was hast du denn versucht?

smile

11.09.2013, 21:35

Blerim

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Ich kann das hier irgendwie nicht aufschrieben? Icvh guck mal

13.09.2013, 15:57

Blerim

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Wurzeln unter Wurzeln
Meine Frage:
Hallo, ich rechne seit 3 Tagen diese Aufgabe immer und immer wieder, ich soll diese Aufgabe mit der Potenzschreibweise vereinfachen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a}{b} \sqrt{\frac{b}{a}\sqrt{\frac{a}{b} } } } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Meine Lösung schreibe ich jetzt endlich auf.

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{a}{b} (\frac{b}{a}*\frac{a}{b}\frac{1}{2})^\frac{1}{2} \right]^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}*\frac{a}{b}^\frac{1}{2}= (\frac{ab}{ab}^\frac{3}{2})^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}^\frac{4}{4}*\frac{ab}{ab}^\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{a²b}{ab²}^\frac{7}{4})\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

als Endergebnis hab ich also $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} ^\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

edit von sulo: Habe den Thread an den ursprünglichen Thread angehängt.

Und ich die Folgebeiträge reinkopiert... Steffen

13.09.2013, 16:15

sulo

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Hmm, da scheinst du noch ein paar Probleme mit dem Formeleditor zu haben, aber es ist immerhin ein Anfang. Freude

Denke an die Klammern, die gesetzt werden müssen. Du kannst auch die "Vorschau"-Funktion des Formeleditors benutzen und so lange rumprobieren, bis du den gewünschten Ausdruck gefunden hast.

Ich warte einfach mal ab, bis du sagst, dass alles wirklich so aussieht, wie du es haben willst.

smile

13.09.2013, 16:16

sulo

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Zitat:

Original von Blero
als Endergebnis hab ich also $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} ^\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

Stimmt leider nicht so ganz. Weiterhin fehlt eine notwendige Klammer. Augenzwinkern

Ich kann aufgrund der etwas wirren Darstellung der Rechneschritte leider auch nicht genau sehen, wo der Denkfehler liegt.

smile

13.09.2013, 16:21

Blerim

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Das ist komplett, genau so habe ich es auch auf dem Blatt geschrieben, Wo fehlt denn ich die Klammer?

13.09.2013, 16:30

sulo

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Wenn es richtig wäre, müsste es zumindest so heißen: $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{b}\right) ^\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

Aber die Umformung stimmt so nicht wirklich.

Setzen wir hier an: $\begin{eqnarray*} \left[\frac{a}{b} (\frac{b}{a}*\frac{a}{b}\color{red}\frac{1}{2}\color{black})^\frac{1}{2} \right]^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wie genau soll das mit der roten 1/2 aussehen?

smile

13.09.2013, 16:36

Blerim

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ich konnte,dass nicht richtig schreiben, ich meine "hoch 1/2"

13.09.2013, 16:40

Blerim

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Das mit der Klammer akzeptiere ich, dass habe ich im Heft auch nicht so. Sorry, jedoch kommt als Ergebis in der aufgabe 8Wurzel aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a³}{b³} } \end{eqnarray*}$ als Ergebnis, da kann mein Ergebnis nicht stimmen.

13.09.2013, 16:47

sulo

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Ja, das habe ich auch heraus: $\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{\left(\frac{a}{b} \right) ^3} \end{eqnarray*}$

Vielleicht rechnest du noch mal nach?

Den Ausdruck mit dem roten 1/2 habe ich mal geändert:

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{a}{b} (\frac{b}{a}*\frac{a ^\frac{1}{2} }{b ^\frac{1}{2} })^\frac{1}{2} \right]^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

smile

13.09.2013, 16:53

Blerim

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Ich habe das zu oft ausgerechnet, wo ist den der Fehler?Ich sehe es nicht.

13.09.2013, 16:59

sulo

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Veilleicht beachtest du nicht, dass sich die Potenz negativ wird, wenn du den potenzierten Ausdruck vom Zähler in den Nenner schreibst und umgekehrt?

Wenn du also das $\begin{eqnarray*} a^\frac14 \end{eqnarray*}$ aus dem Nenner holst, wird es zu $\begin{eqnarray*} a^{-\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ .

smile

13.09.2013, 17:08

Blerim

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, könnte man auch hier einfach kürzen und die Exponenten so lassen, wie sie sind. $\begin{eqnarray*} [\frac{a}{b} *(\frac{ab}{ab}^\frac{3}{4})]^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Wenn ich hier dann kürze, dann habe ich das Ergebnis

13.09.2013, 17:19

sulo

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Nein, du kannst nicht kürzen, solange die Basen unterschiedliche Exponenten haben. Schau dir dazu noch mal die Potenzgesetze an. Augenzwinkern

Du musst zunächst alles so umwandeln, dass alle a im Zähler und alle b im Nenner stehen, dann fasse die Exponenten zusammen.

Ich muss jetzt leider erst mal ein bisschen weg, bin später wieder hier.

smile

13.09.2013, 19:05

Blerim

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Ich verstehe es nicht, tut mir leid, kannst du mir vielleicht sagen wo der Fehler liegt, ich meine du hast es ja richtig heraus bekommen. Wie komme ich auf den Zähler 3 anstatt wie ich es habe auf 7?

13.09.2013, 19:15

sulo

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Ich habe dir meine Vermutung gesagt:

Zitat:

Veilleicht beachtest du nicht, dass sich die Potenz negativ wird, wenn du den potenzierten Ausdruck vom Zähler in den Nenner schreibst und umgekehrt?

Kommst du auch auf dieses Zwischenergebnis: $\begin{eqnarray*} \frac{a^\frac{1}{2}\cdot b^\frac{1}{4}\cdot a^\frac{1}{8}}{b^\frac{1}{2}\cdot a^\frac{1}{4}\cdot b^\frac{1}{8}}~ \end{eqnarray*}$ ?

13.09.2013, 19:29

Blerim

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Ok , verstanden,das war der 2 Schritt

13.09.2013, 19:55

sulo

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Ja, und weiter? Augenzwinkern

14.09.2013, 14:16

Blerim

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Ichweiß nicht wie du auf das Zwischenergebnis gekommen bist, ich gibs auf.Danke

14.09.2013, 14:54

jimmyt

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@Blero

Ich habe das gleiche raus wie sulo : $\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{\left (\frac{a}{b} \right)^3} \end{eqnarray*}$

Vielleicht solltest du dir diese Potenzregeln nochmal anschauen:

$\begin{eqnarray*} (a^r)^s = a^{r \cdot s}; \hspace{1cm} \frac{a^r}{b^s} = a^r \cdot b^{-s}; \hspace{1cm} a^p \cdot a^q = a^{p+q}; \hspace{1cm} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} ; \hspace{1cm} a^p \cdot b^p = (a \cdot b)^p ; \hspace{1cm} \frac{a^p}{b^p} = \left ( \frac{a}{b} \right )^p \end{eqnarray*}$

edit von sulo: Zeilenumbruch eingefügt um Überbreite des Beitrags und damit des Threads zu vermeiden.

14.09.2013, 15:21

Blerim

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Ich glaube ich habe jetzt verstanden,was du meinst b/a muss zuerst verstauscht werden,damit man sie zusammen rechnen kann. $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}*\frac{a}{b}^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

14.09.2013, 15:28

sulo

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Zitat:

Original von Blero
Ich glaube ich habe jetzt verstanden,was du meinst b/a muss zuerst verstauscht werden,damit man sie zusammen rechnen kann.

Richtig.

Zitat:

Original von Blero
$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}*\frac{a}{b}^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht. verwirrt

14.09.2013, 15:29

Blerim

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@Jimmyt

ich habe mir die Potenzgesetze schon angeguckt, wo ist der Fehler bei meiner rechnung. Jeetzt bin ich aber so weit, dass ich wirklich fragen muss, ob ihr mir den Lösungsweg bis zu lösung aufschreiben könnnt? es ist wirklich Fair, ich meine ich sitze schon zum 4 Tag an dieser Aufgabe.

14.09.2013, 15:32

sulo

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Wir schreiben keine Lösungswege auf, das solltest du auch nicht von einem unbeteiligten User, der dir einen Tipp geben wollte, erwarten.
Ich helfe dir gerne mit konkreten Schritten weiter. smile

Ich hatte dir dieses Zwischenergebnis aufgeschrieben: $\begin{eqnarray*} \frac{a^\frac{1}{2}\cdot b^\frac{1}{4}\cdot a^\frac{1}{8}}{b^\frac{1}{2}\cdot a^\frac{1}{4}\cdot b^\frac{1}{8}}~ \end{eqnarray*}$

Leider kam dazu kein weiterer Schritt von dir.

Tipp: Du kannst meine Latex-Formel kopieren, dann brauchst du nur ein paar Änderungen für den nächsten Schritt einzufügen. Augenzwinkern

14.09.2013, 15:35

Blerim

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@sulo

Achso, jetzt verstehe ich sulo, aber mache ich das am besten, ich kann doch nicht einfach Zähler und Nenner vertauschen. Wie du das ob erklärt hast,habe ich auch nicht verstanden?

14.09.2013, 15:41

sulo

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Doch, du kannst Faktoren aus dem Zähler in den Nenner bringen und umgekehrt.

Das wichtigste Potenzgesetz dazu ist einfach: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^n} = a^{-n} \end{eqnarray*}$

Du siehst, das Rechenzeichen vor dem Exponenten ändert sich.

Analog kannst du einen Faktor aus dem Zähler in den Nenner bringen: $\begin{eqnarray*} a^n =\frac{1}{a^{-n}} \end{eqnarray*}$

smile

14.09.2013, 15:43

Blerim

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@sulo

ich bin mit Hilfe deines Zwischenergebnisses auf das Ergebnis gekommen Mit Zunge

, jetzt bin ich aber mal gespannt, wie du mir sagst, wie du auf dieses Zwischenergebnis gekommen bist.

14.09.2013, 15:44

sulo

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Welches Zwischenergebnis meinst du? verwirrt

14.09.2013, 15:50

Blerim

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Der mit dem ganz grossen Bruchstrich.

14.09.2013, 15:51

sulo

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Da habe ich einfach die ganzen Klammern entfernt, also die Potenzen potenziert.

Wie geht es jetzt weiter? Mache mir mal einen Vorschlag.

smile

14.09.2013, 15:56

jimmyt

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@Blero :

Ich würde die komplette Lösung posten, aber dann bekomme ich Ärger von sulo und anderen hier im Forum. Ich habe erst gestern dafür einen Rüffel bekommen, dass ich eine komplette Lösung gepostet habe. Außerdem stimmt es ja schon, dass der Lerneffekt höher ist, wenn du, mit Hilfe von gut gemeinten Tipps, selber auf die richtige Lösung kommst.

@sulo :

Aber andererseits muss ich mal sulo und alle anderen fragen: Wie lange soll er denn noch an dieser Aufgabe rummachen? Wenn er es seit 4 Tagen versucht und bis jetzt nicht hinbekommt, dann könnte man doch mal eine Ausnahme machen und die Lösung posten. Das ist nur eine harmlose Frage von mir. Augenzwinkern

@Blero :

Und schau dir die Anmerkung von sulo mal an.
Das hier $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{b} \end{eqnarray*}$ ist einfach nur falsch! Siehe Potenzgesetz: $\begin{eqnarray*} \left (\frac{a}{b} \right )^p=\left (\frac{a^p}{b^p} \right ) \end{eqnarray*}$

14.09.2013, 16:02

sulo

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@jimmyt

Wir posten keine Komplettösungen, dieses Prinzip hat sich in hunderttausenden von Beiträge bewährt.
Offensichtlich hat Blero ein Verständnisproblem und dem will ich auf den Grund gehen und ihm so zur Erkenntnis helfen.
Leider zieht Blero nicht wirklich mit. Anstatt mal einen Vorschlag zu machen, wie es weitergeht, verschwindet er lieber.
Damit zieht er nur den Thread in die Länge, es entsteht aber kein Druck, eine Komplettlösung zu posten. Da ist es auch egal, wie lange sich Blero ziert, mal selbst was zu leisten. Augenzwinkern

Zu deinem Helferverhalten sei angemerkt, dass es in unserem Board üblich ist, dass ein einziger Helfer einen Thread betreut.
Viele Köche verderben den Brei bzw. verwirren nur den User. Du solltest dich also aus Threads raushalten, in denen schon ein Helfer aktiv ist.
Bitte dies zukünftig zu beachten.

Vielen Dank.

smile

14.09.2013, 16:06

Blerim

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$\begin{eqnarray*} \frac{a^\frac{5}{8}*b^\frac{1}{4}}{a^\frac{1}{4}*b^\frac{5}{8} } \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \frac{a^\frac{3}{8} }{b^\frac{3}{8} } \end{eqnarray*}$ ,

Aufgrund deines Tipps bin ich jetzt auf das Ergebis gekommen, aber wie du einfach die Klammer weggemacht hast, dass verstehe ich nicht.

14.09.2013, 16:19

Blerim

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Ja, danke dir Jimmt, ich verstehe das, stimmt schon, ich meine ich habe das meiste schon selbst geschafft. Da kann man halt nichts machen smile

.

Ich glaube, ich habe bei der Klammersetztung ein Problem. Ich bin manchmal weg, weil ich dann selbst überlegen muss. Meistens komme ich ja so auf das Ergebnis.Aber bei dieser Aufgabe komme ich nicht drauf. Wenn ich das Zwischenergebnis nicht hätte, wäre ich nicht auf das Ergebis gekommen. jetzt muss ich überlegen,wie sulo auf das Zwischenergebnis gekommen ist, dass er/sie gepostet hat. ich verschwinde nicht bewusst, weil ich jemanden ärgern will, Nein. Zeit speilt für mich nicht so eine große Rolle, ich meine ich schreibe ja keine Klausur, ich bereite mich vorher darauf vor. lieber jetzt leiden als später

Gruss Blero

14.09.2013, 16:22

sulo

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Dann mal ausführlich:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{b}\left(\frac{b}{a} \left(\frac{a}{b} \right) ^{\frac{1}{2}} \right) ^{\frac{1}{2}} \right) ^{\frac{1}{2}} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{b} \left(\frac{b \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a \cdot b^{\frac{1}{2}}} \right) ^{\frac{1}{2}} \right) ^{\frac{1}{2}} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{a \cdot b ^{\frac{1}{2}} \cdot a^\frac{1}{4}}{b \cdot a^\frac{1}{2} \cdot b^\frac{1}{4}} \right) ^\frac{1}{2} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^\frac{1}{2}\cdot b^\frac{1}{4}\cdot a^\frac{1}{8}}{b^\frac{1}{2}\cdot a^\frac{1}{4}\cdot b^\frac{1}{8}}~ \end{eqnarray*}$

smile

14.09.2013, 16:34

jimmyt

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@sulo

Kein Problem. Ich möchte dir nicht in die Suppe bzw. Brei spucken. Das war nicht meine Absicht.
Ich habe nur die Potenzgesetze gepostet. Das sollte doch erlaubt sein. Augenzwinkern

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