Abschätzung bei Ungleichung

14.09.2013, 12:28

Hm...

Abschätzung bei Ungleichung

hi leute,

im diesem skript auf seite 104 satz 6.17 beweis von (b) steht 1/8 in der abschätzung,

könnt ihr mir sagen woher die 1/8 kommen?

skript:
http://www3.math.tu-berlin.de/Vorlesunge...uma1_ws1213.pdf

14.09.2013, 12:35

Che Netzer

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RE: Skriptfrage2: woher kommt 1/8
Das kommt daher, dass $\begin{eqnarray*} (x-x_{k-1})(x_k-x)\leq\frac14(x_k-x_{k-1})\leq\frac14h_{\max} \end{eqnarray*}$ .

14.09.2013, 12:43

Hm...

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danke ^^

dann hätte ich noch eine frage:

lemma 6.22, bei dem beweis wird am ende auf seite 111 gefolgert das sich (6.33) ergibt.

aber wie folgere ich das aus dem berechneten $\begin{eqnarray*} ||x||_\infty \leq \frac{1}{3} ||Bx||_\infty \end{eqnarray*}$ ? smile

14.09.2013, 12:50

Che Netzer

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Das nennt sich ja sowieso nur Beweisskizze; über die Deltas bräuchte man da mehr Informationen.

17.09.2013, 14:32

Hm...

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RE: Skriptfrage2: woher kommt 1/8

Zitat:

Original von Che Netzer
Das kommt daher, dass $\begin{eqnarray*} (x-x_{k-1})(x_k-x)\leq\frac14(x_k-x_{k-1})\leq\frac14h_{\max} \end{eqnarray*}$ .

woher kommen die 1/4? und h_max^2 richtig?

17.09.2013, 14:35

Che Netzer

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RE: Skriptfrage2: woher kommt 1/8
Ja, stimmt:
$\begin{eqnarray*} (x-x_{k-1})(x_k-x)\leq\frac14(x_k-x_{k-1})^2\leq\frac14h_{\max}^2\,. \end{eqnarray*}$
Für irgendein $\begin{eqnarray*} \lambda\in[0,1] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x-x_{k-1}=\lambda(x_k-x_{k+1}) \end{eqnarray*}$ und dementsprechend $\begin{eqnarray*} x_k-x=(1-\lambda)(x_k-x_{k-1}) \end{eqnarray*}$ , womit
$\begin{eqnarray*} (x-x_{k-1})(x_k-x)=\lambda(1-\lambda)(x_k-x_{k-1})^2\,. \end{eqnarray*}$
Und $\begin{eqnarray*} \lambda(1-\lambda) \end{eqnarray*}$ nimmt sein Maximum für $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac12 \end{eqnarray*}$ an.

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