Integral, Stammfunktion ermitteln

15.09.2013, 01:26

küb

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Integral, Stammfunktion ermitteln

Meine Frage:
Versuche mich die ganze Zeit an einer Aufgabe, aber komme nicht weiter unglücklich

unglücklich

Ich soll folgendes Integral berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^4+3*x^2+x+1}{(x+1)*(x^2+1)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int \frac{1}{(x+1)} * \frac{x^4+3*x^2+x+1}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Mittels Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} = \int \frac{1}{(x+1)}*(\frac{x(x+1)}{x^4+2*x^2+1} +1) = \int \frac{1}{(x+1)} + \frac{x(x+1)}{(x+1)*(x^4+2*x^2+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int \frac{1}{(x+1)}+ \frac{x}{x^4+2*x^2+1} = ln(|x+1|) + \int \frac{x}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich ja nur noch die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ finden, aber irgendwie weiß ich nicht wie..

Meine Ideen:

15.09.2013, 09:37

Kasen75

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RE: Integral, Stammfunktion ermitteln

Zitat:

Original von küb

Jetzt muss ich ja nur noch die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ finden, aber irgendwie weiß ich nicht wie..

Hallo,

du könntest $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ durch u substituieren.

Grüße.

15.09.2013, 14:00

küb

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RE: Integral, Stammfunktion ermitteln
Dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sqrt{u-1}}{u^2} \end{eqnarray*}$

Muss ich die Stammfunktion davon jetzt sehen können?

15.09.2013, 15:27

Kasen75

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RE: Integral, Stammfunktion ermitteln

Zitat:

Original von küb
Dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sqrt{u-1}}{u^2} \end{eqnarray*}$

Muss ich die Stammfunktion davon jetzt sehen können?

Davon nicht.

Wie hast du denn substituiert ?

15.09.2013, 15:53

küb

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RE: Integral, Stammfunktion ermitteln
Ich habe in den Nenner statt $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ u eingesetzt

und für den Zähler habe ich $\begin{eqnarray*} u=x^2+1 \end{eqnarray*}$ nach x umgeformt.

15.09.2013, 16:06

Kasen75

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RE: Integral, Stammfunktion ermitteln
Hast du auch dx substituiert ?

Genau genommen willst du ja diesen Ausdruck $\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{(x^2+1)^2} \ dx=\int \frac{1}{(x^2+1)^2} \cdot x \ dx \end{eqnarray*}$ berechnen.

$\begin{eqnarray*} u=x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=2x \ dx \Rightarrow \frac{1}{2}\cdot du=x \ dx \end{eqnarray*}$ : Substitut für den hinteren Teil.

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15.09.2013, 16:11

küb

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RE: Integral, Stammfunktion ermitteln
Achso, ja das hatte ich nicht beachtet smile

smile

Jetzt hat's funktioniert

15.09.2013, 16:21

Kasen75

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Freut mich, dass es geklappt hat. smile

smile

15.09.2013, 16:28

küb

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RE: Integral, Stammfunktion ermitteln
Könntest du mir vielleicht auch bei einer weiter Aufgabe behilflich sein?

Ich habe das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{3*e^x+4*e^{-x}+2}{1-e^{2*x}} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{3*e^x+4*e^{-x}+2}{1-e^{2*x}} \, dx = \int \frac{3*e^x}{1-e^{2*x}} + \frac{4*e^{-x}}{1-e^{2*x}} + \frac{2}{1-e^{2*x}} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich substituiere $\begin{eqnarray*} u=e^x \end{eqnarray*}$

Und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{3*u}{1-u^{2}} + \frac{4*u^{-1}}{1-u^{2}} + \frac{2}{1-u^{2}} \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich wieder nicht, wie das dx hinten aussehen muss.

Ich habe $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = e^x \Rightarrow du=e^x*dx \end{eqnarray*}$

15.09.2013, 16:51

Kasen75

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Ad Hoc habe ich keine Idee.

Wenn jemand anders eine Idee hat, gerne. smile

smile

15.09.2013, 16:54

küb

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Soll ich das lieber als neue Frage stellen?

15.09.2013, 16:55

Kasen75

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Schaden kann das nicht.

15.09.2013, 16:55

Che Netzer

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RE: Integral, Stammfunktion ermitteln

Zitat:

Original von küb
Ich habe $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = e^x \Rightarrow du=e^x*dx \end{eqnarray*}$

Und damit wäre $\begin{eqnarray*} \dx=\frac{\dd u}u \end{eqnarray*}$ . Ich würde übrigens Klammern um Integranden setzen, die aus mehreren Summanden bestehen.

15.09.2013, 16:58

küb

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RE: Integral, Stammfunktion ermitteln
Also

$\begin{eqnarray*} \int (\frac{3*u}{1-u^{2}} + \frac{4*u^{-1}}{1-u^{2}} + \frac{2}{1-u^{2}}) \, \frac{du}{u} \end{eqnarray*}$

Kannst du mit vielleicht einen Tipp geben, wie ich weitermache?
Das sieht so kompliziert aus unglücklich

unglücklich

15.09.2013, 18:20

Kasen75

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@küb

Mein Tipp wäre bei jedem einzelnen Summanden eine Paritalbruchzerlegung durchzuführen.

Vorher aber noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ in die Klammer mit reinnehmen.

15.09.2013, 18:29

küb

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Der erste Summand wäre:

$\begin{eqnarray*} 3* \int \frac{1}{1-u^2} \, du \end{eqnarray*}$

Der zweite:

$\begin{eqnarray*} -4* \int \frac{1}{u^4-u^2} \, du \end{eqnarray*}$

Und der dritte:

$\begin{eqnarray*} 2* \int \frac{1}{u-u^2} \, du \end{eqnarray*}$

Falls ich mich nicht irgendwie verrechnet haben sollte..

Dann erstmal eine Partialbruchzerlegung zum ersten Summanden:

Die Nullstellen des Nenners sind bei -1 und 1

Also, dann so?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-u^2} = \frac{A}{u+1} + \frac{B}{{(u+1)}^2} + \frac{C}{u-1} +\frac{D}{{(u-1)}^2} \end{eqnarray*}$

15.09.2013, 18:58

Kasen75

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Zitat:

Original von küb

Also, dann so?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-u^2} = \frac{A}{u+1} + \frac{B}{{(u+1)}^2} + \frac{C}{u-1} +\frac{D}{{(u-1)}^2} \end{eqnarray*}$

Es reicht der Ansatz: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-u^2} = \frac{A}{1-u} + \frac{B}{1+u} \end{eqnarray*}$

Denn: $\begin{eqnarray*} 1-u^2=(1+u) \cdot (1-u) \end{eqnarray*}$

Edit: Das sind jeweils einfache Nullstellen.

15.09.2013, 19:10

küb

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A=B=1/2

Dann ist

$\begin{eqnarray*} 3* \int \frac{1}{1-u^2} \, du = 3*\int \frac{1}{2*(u-1)} + \frac{1}{2*(u+1)}\, du \end{eqnarray*}$

15.09.2013, 19:16

Kasen75

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Die Koeffizienten stimmen.

Du hast nur die Nenner verdreht:

$\begin{eqnarray*} 3* \int \frac{1}{1-u^2} \, du = 3*\int \frac{1}{2*(1-u)} + \frac{1}{2*(1+u)}\, du \end{eqnarray*}$

Beim zweiten Nenner ist es egal. Aber der erste Nenner ist 1-u.

15.09.2013, 19:30

küb

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Huch, ja.

$\begin{eqnarray*} 3*\int \frac{1}{2*(1-u)} + \frac{1}{2*(1+u)}\, du = \frac{3*ln({\frac{|u+1|}{|u-1|})}}{2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt dasselbe für

$\begin{eqnarray*} -4* \int \frac{1}{u^4-u^2} \, du = -4* \int \frac{A}{u} + \frac{B}{u-1} +\frac{C}{u^2+1} \, du \end{eqnarray*}$

Stimmt die rechte Seite so?

Und für

$\begin{eqnarray*} 2* \int \frac{1}{u-u^2} \, du = 2* \int \frac{A}{u} + \frac{B}{1-u} \end{eqnarray*}$

15.09.2013, 19:55

Kasen75

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Zitat:

Original von küb
Und jetzt dasselbe für

$\begin{eqnarray*} -4* \int \frac{1}{u^4-u^2} \, du = -4* \int \frac{A}{u} + \frac{B}{u-1} +\frac{C}{u^2+1} \, du \end{eqnarray*}$

Stimmt die rechte Seite so?

Leider nicht. $\begin{eqnarray*} u^4-u^2=u^2 \cdot (u^2-1)=u^2\cdot (u-1)\cdot (u+1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von küb

$\begin{eqnarray*} 2* \int \frac{1}{u-u^2} \, du = 2* \int \frac{A}{u} + \frac{B}{1-u} \end{eqnarray*}$

Stimmt leider auch nicht, da ich nicht aufgepasst habe.

$\begin{eqnarray*} 2* \int \frac{1}{u-u^3} \ du=\ldots \end{eqnarray*}$

Auf diesen Ausdruck muss die Partialbruchzerlegung angewandt werden. Du kannst ja unten nochmal nachschauen, wo ausmultipliziert wurde.
Positiv gesehen, ist es eine gute Übung.

15.09.2013, 20:07

küb

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Okay, ich habe es jetzt damit gemacht:

$\begin{eqnarray*} -4* \int \frac{1}{u^4-u^2} \, du = -4* \int \frac{A}{u^2} + \frac{B}{u-1} +\frac{C}{u+1} \, du \end{eqnarray*}$

Aber komme am Ende auf:

$\begin{eqnarray*} 1 = (B+C)*u^3 + (A+B-C)*u^2-A \end{eqnarray*}$ was ich irgendwie nicht nach A, B, C auflösen kann.

Also A=-1

15.09.2013, 20:18

Kasen75

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Doppelte Nenner-Nullstellen bekommen immer zwei Koeffizienten. Einmal mit doppelter Nullstelle und ein anderes mal mit einfacher Nullstelle.

$\begin{eqnarray*} \ldots = -4 \cdot \int \frac{D}{x}+\frac{A}{x^2}+\ldots \end{eqnarray*}$

Das sind jetzt die Koeffizienten für $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner

Die Gleichungen könntest du gerne auch aufschreiben. Sie müssen ja nicht in Latex sein.

15.09.2013, 20:33

küb

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Meinst du das so:

$\begin{eqnarray*} -4* \int \frac{1}{u^4-u^2} \, du = -4* \int \frac{A}{u} + \frac{B}{u^2} +\frac{C}{u-1}+\frac{D}{(u-1)^2}+\frac{E}{u+1} +\frac{F}{(u-1)^2} \, du \end{eqnarray*}$

Edit: Oder ist nur die 0 eine doppelte Nullstelle?

15.09.2013, 20:40

Kasen75

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Ich meine es so:

$\begin{eqnarray*} -4* \int \frac{1}{u^4-u^2} \, du = -4* \int \left( \frac{A}{u} + \frac{B}{u^2} +\frac{C}{u-1}+\frac{D}{u+1} \right) \, du \end{eqnarray*}$

u=1 und u=-1 sind ja nur einfache Nullstellen des Nenners.

15.09.2013, 20:45

küb

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Jetzt bin ich aber wieder an einer Stelle, wo ich C und D nicht ermitteln kann:

$\begin{eqnarray*} 1 = A*u*(u^2-1)+B*(u^2-1)+C*u^2*(u+1)+D*u^2*(u-1) \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} 1 = (A+C+D)*u^3 + (B+C-D)*u^2-A*u-B \end{eqnarray*}$

B = -1
A = 0

15.09.2013, 21:19

Kasen75

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Die weiteren Gleichungen sind dann:

$\begin{eqnarray*} u^3:A+C+D=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^2:B+C-D=0 \end{eqnarray*}$

Die Werte für B und A stimmen soweit.

15.09.2013, 21:28

küb

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Jetzt sehe ich es Big Laugh

Big Laugh

C=1/2
D=-1/2

Und für

$\begin{eqnarray*} 2* \int \frac{1}{u-u^3} \ du= \frac{A}{u} + \frac{B}{1-u}+\frac{C}{u+1} \ldots \end{eqnarray*}$

habe ich:

$\begin{eqnarray*} 1 = (-A+B-C)*u^2 + (B+C)*u + A \end{eqnarray*}$

A= 1
B= 1/2
C= -1/2

15.09.2013, 21:44

Kasen75

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Die Werte habe ich auch-bei beiden Ausdrücken. Freude

Freude

Nur das Gleichheitszeichen stimmt (formal), beim Zweiten, nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{u-u^3} = \frac{1}{u} + \frac{0,5}{1-u}-\frac{0,5}{u+1} \end{eqnarray*}$

15.09.2013, 21:46

küb

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Ah, ja hab das Integralzeichen vergessen smile

smile

Danke für deine Hilfe Freude

Freude

Wink

15.09.2013, 21:54

Kasen75

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Gerne.

smile

Respekt

für dein Durchhaltevermögen.

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