Gruppe isomorph zu R?

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Graf_Love Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe isomorph zu R?
Liebe Community,

ich bereite mich gerade im Auslandssemester auf einen recht wichtigen Test vor. Nun bin ich bei einer Frage ins Stocken gekommen: es geht um die Aufgabe im Dateianhang. a) ist schnell erledigt, indem man zeigt, dass a*b nie -1 ist. b) ebenso, neutraler Element finden (0), für's Inverse nur schnell den Term umformen, Assoziativität ist Schreibarbeit - easy.

Aber wie funktioniert c) ? die einzigen Wege die ich kenne wären eine konkrete Funktion anzugeben, für die die Homomorphismuseigenschaft gilt und dazu eine Umkehrfunktion oder zeigen, dass eine solche existiert. alternativ, dass beide zu etwas anderem isomorph sind. kann mir jemand einen Tip geben?

für d) wäre meine Antwort, dass S nicht zyklisch ist, da es dann einen Erzeuger geben müsste, dieser aber entweder rational oder irrational wäre und somit, falls er rational wäre, keine irrationalen Zahlen erzeugen kann und falls er irrational wäre, keine rationalen Zahlen erzeugen kann. ist das richtig?

Liebste Grüße!
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

c) das einfachste ist es einen Isomorphismus anzugeben.

Um den zu finden schau dir doch mal das note that an. Der Tipp ist dir also bereits in der Aufgabenstellung gegeben

d) Was du schreibst mag zielführend sein oder auch nicht, ich kann die Argumentation jedenfalls in dieser Form nicht nachvollziehen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe isomorph zu R?
Der Isomorphismus wird dir ja fast schon bei "Note that [...]" verraten. Vielleicht wird es deutlicher, wenn du zwischen die Klammern schreibst:
Graf_Love Auf diesen Beitrag antworten »

oh mein Gott, im Bett nochmal drüber nachgedacht und die isomorphe Funktion lautet einfach (x)=1+x. Umkehrfunktion entsprechend mit -1.
Das ist jetzt eine recht einfache Funktion, aber ich musste lange überlegen, um erstmal darauf zu kommen. gibt es da einen Trick, um sich die Funktion herzuleiten?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
gibt es da einen Trick, um sich die Funktion herzuleiten?

Wenn man den Wink mit dem Scheunentor der Aufgabenstellung nicht sieht hat man hier wohl schlechte Karten.
Es hilft natürlich zu wissen welche Eigenschaften ein Isomorphismus haben muss.
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