Beweis über vollständige Induktion (Reihen)

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16.09.2013, 03:07	Skolja	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis über vollständige Induktion (Reihen) Hallo ihr Lieben So ich hoffe mal ich bin hier richtig... Ich soll durch vollständige Induktion zeigen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray}$ Und irgendwie hänge ich fest Also der Induktionsanfang $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}=1 = \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray}$ So dann hab ich also die Annahme: $\begin{eqnarray} \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray}$ und mit dem nächsten Schritt $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray}$ So dann zerlege ich die Summen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^{2n-1}\frac{1}{k} + \sum_{k=2n}^{2n+1}\frac{1}{k}= \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} + \sum_{k=2n}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray}$ Schon gezeigt hab ich ja: $\begin{eqnarray} \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray}$ und somit: $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^{2n-1}\frac{1}{k} + \sum_{k=2n}^{2n+1} \frac{1}{k}= \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} + \sum_{k=2n}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^{2n-1}\frac{1}{k} -\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} = -\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{n}+ \sum_{k=2n}^{2n+1} \frac{1}{k}= \sum_{k=2n}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray}$ Wenn ich die Summen auschreibe komme ich auf: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{n} + \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}= \frac{(-1)^{2n+1}}{2n}+\frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1} \end{eqnarray}$ Je nachdem ob $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ jetzt gerade oder ungerade ist: n gerade: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{n} + \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}= \frac{(-1)}{2n}+\frac{(1)}{2n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{-1}{2n}+\frac{1}{2n+1}= \frac{-2n -1+2n}{2n(2n+1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{-2n - 1 +2n}{2n(2n+1)}= \frac{-1}{2n(2n+1)} \end{eqnarray}$ So für n gerade stimmt es ja dann, mein Problem liegt dann bei n ungerade: $\begin{eqnarray} \frac{-1}{2n(2n+1)}= \frac{2n+1-2n}{2n(2n+1)}= \frac{1}{2n(2n+1)} \end{eqnarray}$ Und das ist ja Blödsinn Aber leider finde ich den Fehler auch nicht Kann mir vielleicht weiterhelfen
16.09.2013, 08:34	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Das Problem liegt darin, dass du meinst, der Ausdruck 2n+1 sei für n ungerade selbst gerade. Das gleiche Problem hast du bei 2n+2. Hängt deren Parität wirklich davon ab, ob n gerade oder ungerade ist ?
16.09.2013, 13:32	jimmyt	Auf diesen Beitrag antworten »
@Guppi12 : Darf ich Skolja einen Tipp geben. Ich glaube ich weiß, warum es nicht hinhaut und kann es anhand des geposteten Rechenweg zeigen. Ich möchte nicht gegen das Boardprinzip verstoßen, deswegen frage ich vorher nach.
16.09.2013, 14:47	Skolja	Auf diesen Beitrag antworten »
@Guppi12 Da stimmt natürlich was nicht^^ okay also 2n+2 ist immer gerade, da 2n durch 2 teilbar ist und 2 natürlich auch. 2n+1 ist immer ungerade. Da 2n immer gerade ist, egal ob n gerade oder ungerade ist und somit ist 2n+1 immer ungerade. Damit ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{n} + \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}= \frac{(-1)}{2n}+\frac{(1)}{2n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{-2n-1+2n}{2n(2n+1) }= \frac{-2n-1+2n}{2n(2n+1)} \end{eqnarray}$ Und damit bin ich ja dann fertig @jimmyt Du darfst gerne Tipps geben So lange wie du nicht gleich alles vorrechnest ist das ok.
16.09.2013, 16:33	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
@Skolja: Supi @jimmyt: Von mir auch kein Einwand. Du kannst natürlich auch gerne noch deine Überlegungen dazu posten. Sehr schön, dass du vorher fragst LG
17.09.2013, 12:51	jimmyt	Auf diesen Beitrag antworten »
@Guppi12 und Skolja : Na ok, dann gebe ich nochmal meinen Senf dazu. Aber Skolja hat es ja schon herausbekommen, nur irgendwie sind das ziemlich viele Schritte. Ich brauche für den I.S. nur 4 Schritte: $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac{1}{k} = \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} \stackrel{I.V.}{=} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} = \dots = \sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray}$ Aber den Clou hat Skolja schon richtig erkannt. $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ ist immer gerade, $\begin{eqnarray} 2n + 1 \end{eqnarray}$ ist immer ungerade. Somit ist $\begin{eqnarray} (-1)^{2n+1} \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (-1)^{2n+2} \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} +1 \end{eqnarray}$ .
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17.09.2013, 16:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Und auch noch ein Senf von mir: Abgesehen von Wegnehmen bzw. Hinzufügen von Summanden sowie Vorzeichenbetrachtungen der (-1)-Potenzterme ist die einzige wirkliche Rechenoperation im Induktionsschritt die Addition $\begin{eqnarray} -\frac{1}{n} + \frac{1}{2n} = -\frac{1}{2n} \end{eqnarray}$ . Wenn man den technischen Kram also wirklich sorgfältig und mit Übersicht angeht, bleiben hier mathematisch keinerlei Schwierigkeiten übrig.
18.09.2013, 11:02	jimmyt	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL 9000 : Vollkommen richtig. Aber da laut Boardprinzip keine Komplettlösungen gepostet werden sollen, habe ich diesen einen Schritt der Rechenoperation mit den Pünktchen $\begin{eqnarray} \dots \end{eqnarray}$ versteckt. Aber du hast natürlich recht.
18.09.2013, 11:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war keine Kritik an deinem Beitrag, der war vollkommen in Ordnung. Sondern wie gesagt nur ein Resümee, dass hier überwiegend Verwaltung und wenig Rechnung in der Aufgabe steckt.
18.09.2013, 11:29	jimmyt	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL 9000 : Alles in Ordnung, so habe ich es auch verstanden.

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