Ellipse in Normalform überführen

16.09.2013, 17:33

Smokess

Ellipse in Normalform überführen

Hallo Leute,

Ich bin schon vollkommen verzweifelt, da ich nirgends zu diesem Thema was hilfreiches finde bzw. mir niemand die Lösung zu dieser Aufgabe sagen kann. Es handelt sich um eine Aufgabe aus einer alten Klausur, es muss somit eine Lösung für selbige geben (die ich aber nicht habe).

Die Aufgabenstellung lautet:

"Bestimmen Sie die Normalform der Ellipse, die durch die Gleichung

4(x^2) + 1/4(y^2) - 8x - 2y = -4

beschrieben wird. Skizzieren Sie die Ellipse."

Ich brauche eine Lösung mit Erklärung für Dummies, ich weiß nämlich beim besten Willen nicht mehr, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.

PS: Total viele haben mir schon gesagt, dass diese Ellipse verschoben ist und es somit keine Lösung gibt, allerdings glaube ich kaum, dass ein Matheprofessor eine unlösbare Aufgabe stellt und das auch noch in einer Klausur. Da hätten sich garantiert Leute gemeldet / beschwert, somit muss es eine Lösung geben, da mir nichts in dieser Richtung zu dieser Aufgabe bekannt ist. Beiträge wie "Die Ellipse ist verschoben, sieht man doch" bringen mir also gar nichts.

16.09.2013, 18:28

mYthos

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Der Mittelpunkt der achsenverschobenen Ellipse kann mittels der quadratischen Ergänzung bestimmt werden.
Wichtig ist, dass du die Ellipse mit dem Mittelpunkt M(m; n) letztlich auf die Form

$\begin{eqnarray*} b^2(x-m)^2 + a^2(y-n)^2 = a^2b^2 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-m)^2} {a^2} + \frac{(y-n)^2} {b^2} = 1 \end{eqnarray*}$

bringen musst.

mY+

16.09.2013, 18:34

Smokess

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Verstehe leider nicht, was du mir damit sagen willst. Ich habe doch extra geschrieben "Erklärung für Dummies"... Ich habe keine Ahnung von Ellipsen und sehe so eine Aufgabe zum ersten Mal, wo bekomme ich m und n her? Wo bekomme ich a^2 und b^2 her?

Kann man das irgendwie ablesen?

Kann nicht einfach wer Schritt für Schritt zeigen, was ich machen muss? Gerne auch an nem einfachen Beispiel, aber ich muss es verstehen. Allgemeine Formeln und dieses Profi-Zeugs bringen mir nichts.

Vielen Dank

16.09.2013, 19:56

mYthos

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Zitat:

Original von Smokess
Verstehe leider nicht, was du mir damit sagen willst. Ich habe doch extra geschrieben "Erklärung für Dummies"...
...

Das ist kein Freibrief für Komplettlösungen oder Rechenwege und enthebt dich nicht deiner eigenen Initiative.
Ihr werdet doch sicher schon auch bei der Kreisgleichung eine Mittelpunktsbestimmung durchgeführt haben.
So geht es auch bei der Ellipse. Und deren allgemeine Mittelpunktsgleichung habe ich dir auch schon hingeschrieben.

Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 9x^2 + 16y^2 - 108x + 128y = - 436 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9(x^2 - 12x) + 16(y^2 + 8y) = -436 \end{eqnarray*}$

Quadratische Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} 9(x^2 - 12 x + 36) + 16(y^2 + 8y + 16) = -436 + 9 \cdot 36 + 16 \cdot 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9(x - 6)^2 + 16(y + 4)^2 = 144 \end{eqnarray*}$

Division durch 144:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x - 6)^2} {16} + \frac{(y + 4)^2} 9 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \ a^2 = 16, \ b^2 = 9, \ M(6; -4) \end{eqnarray*}$
_______________

Bei deiner Ellipse beginnst du so:

$\begin{eqnarray*} 4(x^2 - 2x) + \frac 1 4 (y^2 - 8y) = -4 \end{eqnarray*}$

Nun bist du dran!

mY+

16.09.2013, 20:07

Smokess

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Wer sagt, dass ich eine Lösung wollte? Das was du jetzt abgeliefert hast ist wesentlich aussagekräftiger als dein vorheriger Beitrag.

Vielen Dank.

16.09.2013, 20:11

Smokess

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Sorry für den Doppelpost, aber ich werde die Lösung natürlich hier posten, wenn ich es ausgerechnet habe, damit andere auch was damit anfangen können!

16.09.2013, 21:10

Smokess

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So ich habe es jetzt mal ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} 4(x^2) - 8x + 1/4(y^2) - 2y = -4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 4(x^2 - 2x) + 1/4(y^2 - 8y) = -4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 4(x^2 - 2x + 1) + 1/4(y^2 - 8y + 16) = -4 + 4 * 1 + (1/4) * 16<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 4(x-1)^2 + 1/4(y-4)^2 = 4<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (x-1)^2/1 + (y-4)^2/16 = 1 \end{eqnarray*}$

a^2 = 1 b^2 = 16 M (1;4)

Hoffe, das ist so richtig?

16.09.2013, 21:20

mYthos

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Hervorragend! smile

Und dazu war sicher nicht eine "Erklärung für Dummies" nötig .. Big Laugh

-------
Mein erster Beitrag war ja mal ein Anstoß für deine eigenen Ideen.
Und: Normalerweise tue ich nichts "abliefern", das machen Postboten.

mY+

16.09.2013, 21:28

Smokess

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Entschuldigung, ich war nur etwas aufgeregt, weil mir bisher niemand verraten wollte, wie ich das mache. Durch dein ausführliches Beispiel wusste ich endlich, was zu tun ist.

Ich hoffe, jemand der genauso auf dem Schlauch steht wie ich kann nun aus diesem Thread lernen.

"Abliefern" ist nur eine Redewendung, bei uns sagt man das so. Falls du dich dadurch beleidigt gefühlt hast tut es mir leid.

16.09.2013, 21:40

mYthos

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Ja, du hast Recht, lernen aus diesem Thread kann man allemal.
Und nein, beleidigt fühle ich mich nicht, "abliefern" klingt vielleicht ein wenig abschätzig. Macht nix, vergiss es!

Gr
mY+

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