Berechnung Wahrscheinlichkeit einer Stoppzeit

16.09.2013, 22:13

ac3er

Berechnung Wahrscheinlichkeit einer Stoppzeit

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} S_{n} = \sum\limits_{i=1}^n X_{i} \end{eqnarray*}$ Random Walk auf Z mit S(0) = 0, P(X(i) = 1) = 2/3 und P(X(i) = -1) = 1/3.

a) Für welche Konstante c != 1 und strikt positiv ist $\begin{eqnarray*} M_{n} = c^{S_{n}} \end{eqnarray*}$ ein Martingal?
b) Sei $\begin{eqnarray*} \tau = inf(k>0: S_{k} \in {-5,5}) \end{eqnarray*}$ , die erste hitting time in {-5,5}. Benutze a) um $\begin{eqnarray*} P(S_{\tau}) = 5 \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Meine Ideen:
Meine erste Frage lautet, ob in a) ein Fehler ist und es nicht $\begin{eqnarray*} M_{n} = S_{n}^{c} \end{eqnarray*}$ heissen müsste. Denn ich will das Optional stopping Theorem anwenden.

17.09.2013, 00:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von ac3er
Meine erste Frage lautet, ob in a) ein Fehler ist und es nicht $\begin{eqnarray*} M_{n} = S_{n}^{c} \end{eqnarray*}$ heissen müsste.

Da bin ich aber wirklich gespannt, für welches $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ du da ein Martingal siehst. verwirrt

Mit $\begin{eqnarray*} M_n = c^{S_n} = c^{S_{n-1}+X_n} = c^{S_{n-1}}\cdot c^{X_n} = M_{n-1}\cdot e^{X_n} \end{eqnarray*}$ lässt sich die Aufgabe doch prima rechnen.

17.09.2013, 14:54

ac3er

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Erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort smile

Noch eine Frage dazu. Wieso kann es denn nur die eulersche Zahl sein?
Ich weiß nicht so wirklich wie ich die a) dann für den Aufgabenteil b) anwenden soll.
Ich schätze mal, dass man das Optional stopping Theorem anwenden soll. Aber was hilft mir da die Aussage aus a)?

17.09.2013, 14:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von ac3er
Noch eine Frage dazu. Wieso kann es denn nur die eulersche Zahl sein?

Da habe ich mich schlicht verschrieben: Dort sollte auch $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ stehen - Danke für den Hinweis. Also nochmal richtig:

$\begin{eqnarray*} M_n = M_{n-1}\cdot c^{X_n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ac3er
Ich weiß nicht so wirklich wie ich die a) dann für den Aufgabenteil b) anwenden soll.

Kann ich dir auch nicht sagen, ist zu lange her. Augenzwinkern

Berechne doch zunächst mal Wert $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ in a).

P.S.: Ich nehme an, dass du bei b) eigentlich

Zitat:

b) Sei $\begin{eqnarray*} \tau = \inf\left( k>0: S_{k} \in \{-5,5\} \right) \end{eqnarray*}$ , die erste hitting time in {-5,5}. Benutze a) um $\begin{eqnarray*} P(S_{\tau} = 5) \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

meintest.

17.09.2013, 15:05

ac3er

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Ja da hast du vollkommen recht ich meinte $\begin{eqnarray*} P(S_{\tau} = 5). \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

17.09.2013, 18:51

dinzeoooo

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ich glaub das könnte so gehen:

gehen wir mal davon aus, dass du c bereits berechnet hast. dann gilt:

$\begin{eqnarray*} E(c^{S_\tau})=1 \end{eqnarray*}$ (optional sampling theorem)

die zufallsvariable $\begin{eqnarray*} c^{S_\tau} \end{eqnarray*}$ kann ja nur die werte $\begin{eqnarray*} c^5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c^{-5} \end{eqnarray*}$ annehmen. d.h. du hast die gleichungen:

$\begin{eqnarray*} E(c^{S_{\tau}})=c^{5}\cdot P(S_{\tau} =5)+c^{-5}\cdot P(S_{\tau}=5)=1 \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} P(S_\tau =5)+P(S_\tau =-5)=1 \end{eqnarray*}$

17.09.2013, 19:07

ac3er

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Ok ja du hast recht! Das folgt mit Optional Sampling und nicht mit Optional Stopping.
$\begin{eqnarray*} M_{n} \end{eqnarray*}$ ist genau dann Martingal wenn $\begin{eqnarray*} E[X_{\tau}] = E[X_{0}] \end{eqnarray*}$ .
Damit erhält man die Gleichungen, die du genannt hast.
Das aufzulösen ist ja dann einfach. Vielen Dank! Ihr habt mir sehr geholfen smile

18.09.2013, 18:30

dinzeooo

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Zitat:

Original von ac3er
Ok ja du hast recht! Das folgt mit Optional Sampling und nicht mit Optional Stopping.

für mich sind optional sampling und optional stopping das gleiche allerdings gibt es ziemlich viele versionen von diesem theorem.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} M_{n} \end{eqnarray*}$ ist genau dann Martingal wenn $\begin{eqnarray*} E[X_{\tau}] = E[X_{0}] \end{eqnarray*}$ .

unabhängig davon, dass dort alles M oder alles X sein muss, reicht das im allgemeinen noch nicht aus. es sind noch bedingungen an die stopzeit $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ (z.b. beschränkt) und/oder das martingal (z.b. gleichgradig integrierbar) notwendig jenachdem welche version ihr von diesem theorem gebraucht.

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