Übungen zu Quantoren und Prädikaten 2

17.09.2013, 14:58

un1x

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Übungen zu Quantoren und Prädikaten 2

Neue Übung

Zitat:

Es sind folgende Prädikate gegeben:

- PF(x,z) := "x ist ein Primfaktor von y"
- Prim(x) := "x ist eine Primzahl"

Bemerkung: Alle Quantoren verstehen wir hier als Quantoren über der Menge $\begin{eqnarray*} <br /> \mathbb {N} \end{eqnarray*}$

Formalisieren Sie folgende Aussagen ueber die Natuerlichen Zahlen

Primfaktoren sind immer Primzahlen

$\begin{eqnarray*} \forall x (Prim(x) \Rightarrow PF(x,x)) \end{eqnarray*}$

Das heisst eigentlich eher dass Alle Primzahlen auch ihre eigene Primfaktoren sind. Aber kann mir keine andere Moeglichkeit vorstellen dies mit den beiden Praedikaten darzustellen

Jede natuerliche Zahl die groesser als 1 ist besitzt einen Primfaktor

$\begin{eqnarray*} \exists xPrim(x) \forall y((E(y) \wedge y > 1) \Rightarrow PF(x,y) ) \end{eqnarray*}$

17.09.2013, 17:22

Math1986

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RE: Übungen zu Quantoren und Prädikate 2
Das stimmt nicht ganz.
1) Überlege dir erstmal, wie du die Aussage "x ist Prinfaktor (einer beliebigen Zahl)" formulierst. Daraus ist zu folgern, dass x selbst eine Primzahl ist.

2) Was bitte ist E(y) ?
Formuliere erstmal die Aussage "y besitzt einen Primfaktor"

18.09.2013, 09:02

un1x

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RE: Übungen zu Quantoren und Prädikate 2

Zitat:

Original von Math1986
Das stimmt nicht ganz.
1) Überlege dir erstmal, wie du die Aussage "x ist Prinfaktor (einer beliebigen Zahl)" formulierst. Daraus ist zu folgern, dass x selbst eine Primzahl ist.

Das verstehe ich nicht ganz. Eine Primfaktor muss ja eine Primzahl sein.

$\begin{eqnarray*} \exists x (Prim(x) \wedge PF(x,y)) \end{eqnarray*}$

- Es existiert min. eine Primzahl die auch ein Primfaktor von y ist?

Zitat:

Original von Math1986
2) Was bitte ist E(y) ?
Formuliere erstmal die Aussage "y besitzt einen Primfaktor"

Hm. Wenn es heisst "x ist ein Primfaktor von y" koennte ich sagen: "fuer alle y gibt es ein Primfaktor x"

d.h etwa so?

$\begin{eqnarray*} \forall yPF(x,y) \end{eqnarray*}$

18.09.2013, 10:16

Math1986

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RE: Übungen zu Quantoren und Prädikate 2

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \exists x (Prim(x) \wedge PF(x,y)) \end{eqnarray*}$

- Es existiert min. eine Primzahl die auch ein Primfaktor von y ist?

Das ist nicht ganz das, was gefragt ist.

Formuliere bitte die Aussage x ist Primfaktor (einer beliebigen Zahl)

18.09.2013, 10:21

un1x

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Hm

$\begin{eqnarray*} x \Rightarrow PF(x,y) \end{eqnarray*}$

18.09.2013, 11:51

Math1986

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Geht schon in die richtige Richtung. Der Folgepfeil ist hier falsch, "x" alleine ist keine Aussage.

Überleg dir mal, wie du den Teil "(einer beliebigen Zahl)" darstellen kannst. Dein "y" ist momentan undefiniert.

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18.09.2013, 12:52

un1x

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Hi

"Es existiert ein beliebiges y"

$\begin{eqnarray*} \exists !y \end{eqnarray*}$

"Wenn ein beliebiges y besteht dann"

$\begin{eqnarray*} \exists !y \Rightarrow PF(x,y) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist aber x nicht definiert.

18.09.2013, 13:41

Math1986

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Soweit schon fast richtig.
Richtig ist, dass die Aussage, "x ist Primfaktor" (damit ist auch x festgelegt) äquivalent ist zu
$\begin{eqnarray*} \exists y \colon PF(x,y) \end{eqnarray*}$

Nun ist die Aussage "Primfaktoren sind immer Primzahlen" zu formulieren.

18.09.2013, 13:51

un1x

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Zitat:

Original von Math1986
Soweit schon fast richtig.
Richtig ist, dass die Aussage, "x ist Primfaktor" (damit ist auch x festgelegt) äquivalent ist zu
$\begin{eqnarray*} \exists y \colon PF(x,y) \end{eqnarray*}$

Nun ist die Aussage "Primfaktoren sind immer Primzahlen" zu formulieren.

Wenn x ein Primfaktor ist, muss es eine Primzahl sein.

$\begin{eqnarray*} \exists y \colon PF(x,y) \Rightarrow Prim(x) \end{eqnarray*}$

PS: Muss man den Doppelpunkt schreiben nach dem Quantor?

18.09.2013, 14:04

Math1986

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In diesem Fall musst du widerrum den Allquantor verwenden, weil du eine Aussage über alle x und y machst:
$\begin{eqnarray*} \forall x,y\colon PF(x,y)\Rightarrow Prim(x) \end{eqnarray*}$
Die Aussage gilt jeweils für alle Paare von x und y, sodass x Primfaktor von y ist.

Und ja, nach den Quantoren schreibt man Doppelpunkte.

18.09.2013, 14:15

un1x

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ok.

Somit wuerde heissen

"Jede natuerliche Zahl die groesser als 1 ist besitzt einen Primfaktor

x ist ein Primfaktor:

$\begin{eqnarray*} \exists y: PF(x,y) \end{eqnarray*}$

Und jede Zahl muss groesser als 1 sein

$\begin{eqnarray*} \exists y \in \mathbb {N}: PF(x,y) \wedge y > 1 \end{eqnarray*}$

18.09.2013, 14:21

Math1986

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Nein.

Jede natuerliche Zahl die groesser als 1 ist besitzt einen Primfaktor
Überleg dir erstmal, wie du die Stichworte "jede" und "einen" in Quantoren umsetzt und führe für beide Variablen Namen ein.

18.09.2013, 14:27

un1x

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Zitat:

Original von Math1986
Nein.

Jede natuerliche Zahl die groesser als 1 ist besitzt einen Primfaktor
Überleg dir erstmal, wie du die Stichworte "jede" und "einen" in Quantoren umsetzt und führe für beide Variablen Namen ein.

Hammer

Jede = Allquantor

.. besitzt einen Primfaktor heisst dass es auch mehrere haben kann oder? Sonst wuerde stehen genau einen.

Das waere den Existenzquantor

18.09.2013, 14:36

Math1986

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Richtig soweit. Nun formal hinschreiben, die Quantoren mit den Variablen.

18.09.2013, 14:44

un1x

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Kann ich die Menge der Natuerlichen Zahlen so mit den beiden Quantoren zusammenfassen?

$\begin{eqnarray*} \exists x \forall y \in \mathbb {N}: PF(x,y) \wedge y > 1 \end{eqnarray*}$

18.09.2013, 15:03

Math1986

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Also:
Jede natuerliche Zahl die groesser als 1 ist besitzt einen Primfaktor

Welcher der beiden Quantoren kommt zuerst?

18.09.2013, 15:06

un1x

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Wohl den Allquantor

$\begin{eqnarray*} \forall y \exists x \in \mathbb {N}: PF(x,y) \wedge y > 1 \end{eqnarray*}$ [/quote]

18.09.2013, 15:12

Math1986

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Zitat:

Original von un1x
Wohl den Allquantor

$\begin{eqnarray*} \forall y \exists x \in \mathbb {N}: PF(x,y) \wedge y > 1 \end{eqnarray*}$

[/quote]

Soweit richtig.

In der Aufgabenstellung steht:

Zitat:

Formalisieren Sie folgende Aussagen ueber die Natuerlichen Zahlen

Es ist daher nicht nötig, hier die natürlichen Zahlen einzubringen.

Was die Voraussetzung y>1 angeht: Es gilt eben nicht für alle y, sondern nur für solche, die größer als Eins sind. Das ist eine implikation, kein "und". Mach dir mal den Unterschied klar.

$\begin{eqnarray*} \forall y\colon y>1 \Rightarrow\exists x\colon PF(x,y) \end{eqnarray*}$

18.09.2013, 15:22

un1x

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Ok. Ich glaube dass ich es so langsam verstehe. D.h wenn "Jede Primzahl besitzt genau einen Primfaktor"

Jede = Allquantor
Primzahl = Prim(x)
Besitzt = Implikation
Genau einen = $\begin{eqnarray*} \exists ! \end{eqnarray*}$
Primfaktor = $\begin{eqnarray*} \exists y:PF(x,y) \end{eqnarray*}$

Ergo

$\begin{eqnarray*} \forall x : (Prim(x) \Rightarrow \exists !y:PF(x,y)) \end{eqnarray*}$

18.09.2013, 15:31

Math1986

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Du hast in PF die Reihenfolge der Faktoren vertauscht, sonst ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} \forall x : (Prim(x) \Rightarrow \exists !y:PF(y,x)) \end{eqnarray*}$

18.09.2013, 15:36

un1x

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Danke fuer deine Hilfe. Ich muss mir das Ganze heute Abend mal unter das Kopfkissen legen Big Laugh

Big Laugh

20.09.2013, 12:22

un1x

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Hi

Ich stehe nochmals an 2 Aufgaben an:

Primzahlen sind genau die Zahlen die sich selbst als Primfaktor haben

$\begin{eqnarray*} \forall x(Prim(x) \Rightarrow PF(x,x)) \end{eqnarray*}$

Zahlen die genau einen Primfaktor besitzen sind nicht notwendigerweise Primzahlen

$\begin{eqnarray*} \forall x(\exists !yPF(y,x) \Rightarrow (Prim(x) \lor \lnot Prim(x))) \end{eqnarray*}$

20.09.2013, 14:06

Math1986

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Zitat:

Original von un1x
Primzahlen sind [B]genau die Zahlen die sich selbst als Primfaktor haben[/B]

$\begin{eqnarray*} \forall x(Prim(x) \Rightarrow PF(x,x)) \end{eqnarray*}$

Fast richtig. Die Rede ist aber von "genau die" zahlen, wie kannst du das korrigieren?

Zitat:

Zahlen die genau einen Primfaktor besitzen sind nicht notwendigerweise Primzahlen

$\begin{eqnarray*} \forall x(\exists !yPF(y,x) \Rightarrow (Prim(x) \lor \lnot Prim(x))) \end{eqnarray*}$

Der letzte Ausdruck ist eine Tautologie.
$\begin{eqnarray*} Prim(x) \lor \lnot Prim(x) \end{eqnarray*}$
Das ist immer wahr. Entweder ist eine Zahl eine Primzahl oder eben nicht.

20.09.2013, 14:25

un1x

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1)

Hm indem man Prim(x) und PF(x,x) mit einem UND verknuepft?

Zahlen die genau einen Primfaktor besitzen sind nicht notwendigerweise Primzahlen

$\begin{eqnarray*} \forall x(\exists !yPF(y,x) \wedge \lnot Prim(x)) \end{eqnarray*}$

20.09.2013, 14:39

Math1986

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Zitat:

Original von un1x
1)

Hm indem man Prim(x) und PF(x,x) mit einem UND verknuepft?

Wie kommst du darauf? Hast du den Ausdruck "genau dann, wenn" vielleicht schonmal gehört?

Zitat:

Original von un1x
Zahlen die genau einen Primfaktor besitzen sind nicht notwendigerweise Primzahlen

$\begin{eqnarray*} \forall x(\exists !yPF(y,x) \wedge \lnot Prim(x)) \end{eqnarray*}$

Nein... Ein "sind nicht notwendigerweise" heißt soviel wie:
Wenn eine Zahl genau einen Primfaktor besitzt dann folgt daraus nicht, dass diese eine Primzahl ist.

20.09.2013, 14:48

un1x

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Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von un1x
1)

Hm indem man Prim(x) und PF(x,x) mit einem UND verknuepft?

Wie kommst du darauf? Hast du den Ausdruck "genau dann, wenn" vielleicht schonmal gehört?

Zitat:

Original von un1x
Zahlen die genau einen Primfaktor besitzen sind nicht notwendigerweise Primzahlen

$\begin{eqnarray*} \forall x(\exists !yPF(y,x) \wedge \lnot Prim(x)) \end{eqnarray*}$

Nein... Ein "sind nicht notwendigerweise" heißt soviel wie:
Wenn eine Zahl genau einen Primfaktor besitzt dann folgt daraus nicht, dass diese eine Primzahl ist.

Hm Ich dachte dass,

$\begin{eqnarray*} (a \rightarrow b) \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Implikation negiere muesste es

$\begin{eqnarray*} \lnot (a \rightarrow b) \leftrightarrow \lnot (\lnot a \lor b) \leftrightarrow (a \wedge \lnot b) \end{eqnarray*}$

Oder wie stelle ich "folgt daraus nicht" dar?

20.09.2013, 14:58

Math1986

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Zitat:

Original von un1x

Hm Ich dachte dass,

$\begin{eqnarray*} (a \rightarrow b) \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Implikation negiere muesste es

$\begin{eqnarray*} \lnot (a \rightarrow b) \leftrightarrow \lnot (\lnot a \lor b) \leftrightarrow (a \wedge \lnot b) \end{eqnarray*}$

Oder wie stelle ich "folgt daraus nicht" dar?

Okay, dann poste bitte alle Zwischenumformungen, die du im Kopf machst.

20.09.2013, 15:04

un1x

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$\begin{eqnarray*} (a \rightarrow b) \leftrightarrow (\lnot a \lor b) \end{eqnarray*}$

Jetzt negiere ich der rechte Term

$\begin{eqnarray*} \lnot (\lnot a \lor b) \leftrightarrow (\lnot \lnot a \wedge \lnot b) \leftrightarrow (a \wedge \lnot b) \end{eqnarray*}$

20.09.2013, 15:05

Math1986

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Das ist klar. ich meine den Term oben.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall x(\exists !yPF(y,x) \wedge \lnot Prim(x)) \end{eqnarray*}$

20.09.2013, 15:10

un1x

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"Wenn eine Zahl genau einen Primfaktor besitzt dann folgt daraus, dass diese eine Primzahl ist."

$\begin{eqnarray*} \forall x(\exists !yPF(y,x) \rightarrow Prim(x)) \end{eqnarray*}$

Wenn eine Zahl genau einen Primfaktor besitzt dann folgt daraus nicht, dass diese eine Primzahl ist.

$\begin{eqnarray*} \forall x \lnot(\exists !yPF(y,x) \rightarrow Prim(x)) \end{eqnarray*}$

20.09.2013, 17:26

Math1986

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Zitat:

Original von un1x
"Wenn eine Zahl genau einen Primfaktor besitzt dann folgt daraus, dass diese eine Primzahl ist."

$\begin{eqnarray*} \forall x(\exists !yPF(y,x) \rightarrow Prim(x)) \end{eqnarray*}$

Wenn eine Zahl genau einen Primfaktor besitzt dann folgt daraus nicht, dass diese eine Primzahl ist.

$\begin{eqnarray*} \forall x \lnot(\exists !yPF(y,x) \rightarrow Prim(x)) \end{eqnarray*}$

Das eine ist die Negation des anderen. Letzteres ist das, was gesucht ist.

20.09.2013, 18:21

un1x

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Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von un1x
Primzahlen sind [B]genau die Zahlen die sich selbst als Primfaktor haben[/B]

$\begin{eqnarray*} \forall x(Prim(x) \Rightarrow PF(x,x)) \end{eqnarray*}$

Fast richtig. Die Rede ist aber von "genau die" zahlen, wie kannst du das korrigieren?

Hm. Wird das mit dem Existenzquantor ausgedrückt?

Wenn es eine Primzahl gibt, dann ist sie einen Primfaktor von sich selbst?

$\begin{eqnarray*} \exists x(Prim(x) \Rightarrow PF(x,x)) \end{eqnarray*}$

20.09.2013, 19:05

Math1986

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Wie kommst du nun darauf? Bitte nicht raten.

"genau dann, wenn" heißt soviel wie Äquivalenz
$\begin{eqnarray*} \forall x(Prim(x) \Leftrightarrow PF(x,x)) \end{eqnarray*}$

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