Trigonometrie : Sinussatz, 2r Formel

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The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrie : Sinussatz, 2r Formel
Hallo.
Habe folgende Aufgabe:

Zeichne ein spitzwinkliges Dreieck ABC und seinen Umkreis! Verbinde den Umkreismittelpunkt M mit A und mit B ! Zeichne ferner das Lot von M auf die Seite ("Strecke") AB ! Dieses Lot teilt das gleichschenklige Dreieck MAB in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke MAD und MDB.

a) Begründe, warum sowohl der Winkel DMB als auch der Winkel ACB das Maß haben !

b) Zeige mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks MAD, dass gilt :

Diese Gleichung heißt "2r-Formel" für Dreiecke

c) Zeige, dass für alle spitzwinkligen Dreiecke gilt:



zu c) habe ich eine Frage. Gilt das denn auch für stumpfwinklige Dreiecke ?

Ich füge auch noch folgendes Bild ein. Ich wollte a) mit dem Umfangswinkelsatz lösen, aber da diese Aufgaben direkt nach dem Sinussatz kommen, denke ich, dass es etwas damit zu tun haben muss.
Könnt Ihr mir vielleicht nur leichte Ansätze nennen?

Das blau gezeichnete im Bild ist mein Weg zur Lösung, habe die Lösung aber nicht ganz.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrie : Sinussatz, 2r Formel
a) Zentri-Peripheriewinkelsatz (auch Umfangswinkelsatz genannt)

b) Im rechtwinkligen dreieck MAD oder MDB Definition des Sinus anwenden! Dann Umfangswinkelsatz

c) zeige wie in b) für c und gamma, dass



, indem du das Verfahren auf a bzw. b überträgst.

zu c) ja das gilt auch für stumpfwinklige


edit: Tipp zu a): Wie groß ist Winkel AMB?? Was passiert mit diesem Winkel des gleichschenkligen Dreiecks, wenn man die Mittelsenkrechte auf AB einzeichnet??
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Ich sollte mich schämen, dass ich sowas nicht auf Anhieb konnte. Entweder stand ich auf der Leitung oder sonstwas.

Kann man in a) nicht ohne den umfangswinkelsatz begründen ?

bei b) braucht man doch nicht den umfangswinkelsatz, sondern nur das Umformen von

das ergibt am ende

muss ich in aufgabe c) von b) auf c) schließen ?
Oder kann ich auch wieder durch umformen des sinussatzes
auf und dann auf
den satz
schließen ?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, du kennst den Sinussatz noch nich und sollst ihn erst beweisen. zu c) Du nimmst einfach das Dreieck MBC und machst es da genauso wie bei b) für Dreieck MAB. Oder:

umformen:




Daraus folgt deine Gleichung.

Zu b) da brauchst du den Umfangswinkelastz aber dafür, dass du weißt, dass der Winkel da y/2 ist Ist zwar eigentlich schon in a) gezeigt, ich habs aber einfach nochmal mit hingeschrieben.

Zu a) Wird schwer das mit Sinussatz oder übehaupt irgendwie anders zu machen. Ich denk nochmal drüber nach.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich mit meiner Zeichnung da oben denn nicht beweisen, dass beide Winkel gamma gleiche Winkel sind. das blaue ist wie gesagt, das was meine Denkschritte repräsentiert.
dabei verlängere ich erst die Strecke AM bis zum Kreisrand (rechts) . das ist der umfangswinkelsatz. also ist da auch gamma drin. Die Verlängerung von AM ist auch r , also haben wir rechts noch ein gleichschenliges Dreieck. Also ist der Winkel unter dem "neuen Winkel" gamma auch gamma. Fehlt uns aber noch der letzte WInkel in diesem Dreieck. Dann hätten wir auch den Winkel AMB /2 (AMB "durch" 2, da winkelhalbierende) oder lecihter gesagt ist das der winkel DMB . Das wäre dann 180 - DMB.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sicher so kannst du es auch machen. Aber eigentlich wird der Umfangswinkelsatz genau so hergeleitet, wenn dus so machen willst, dann so:

Wie du schon richtig gesagt hast, ist in der Winkel "unter" gamma auch gamma, dann ist der dritte Winkel in diesem Dreieck (Innenwinkelsummensatz) und AMB ist und DMB ist

Aber wie gesagt, das hab ich nich genannt, weil der Umfangswinkelsatz selbst so hergeleitet wird. Augenzwinkern
 
 
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

ok. Danke für Dein Bemühen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du brauchst, noch ein anderer Weg:
Ich nenne jetz mal den Punkt bei dem blauen Winkel gamma E. Dann ist

(Satz des Thales)



Wir wissen schon, dass , also:



Und der gesuchte Winkel DMB:



Augenzwinkern

Zitat:
Original von The Lion
ok. Danke für Dein Bemühen.


Dafür sind wir ja da
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal n neues thema draus gemacht. (hier)
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