Achsen- und Punktsymmetrie

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123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »
Achsen- und Punktsymmetrie
Meine Frage:
Hi zusammen,

es wäre super, wenn mir jemand jeweils anhand eines einfachen Beispieles erklären könnte, wie ich genau herausfinde, wann eine Funktion Achsen-, bzw. Punktsymmetrisch ist? Ich muss es rechnerisch nachweisen. Das Herausfinden über den Exponenten ist mir bekannt-

Ich komme einfach nicht weiter.


Vielen Dank für Eure Hilfe!

Meine Ideen:
Keine Idee
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein einfaches Beispiel für Achsensymmetrie wäre



und für Punktsymmetrie



Allgemein kannst du dir merken, dass wenn eine Funktionsgleichung nur Variablen mit geraden Exponenten besteht, dann ist die Funktion achsensymmetrisch.

Wenn die Funktionsgleichung nur aus Variablen besteht die ungerade Exponenten haben, dann ist die Funktion punktsymmetrisch.

Bei einem Mix aus ungeraden und geraden Exponenten liegt keine Symmetrie vor.

Zur Erinnerung:

Eine Zahl heißt dann gerade wenn sie durch 2 teilbar ist und dann ungerade wenn sie eben nicht durch 2 teilbar ist.

Außerdem gibt es noch dieses Kriterium:

Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn folgendes gilt:



und punktsymmetrisch wenn



Dabei ist jedesmal die Symmetrie zum Ursprung gemeint.

Das ist aber eigentlich erst wichtig wenn man gebrochenrationale Funktionen oder Exponentialfunktionen hat. Bei ganzrationalen Funktionen reicht es meistens aus einfach die Exponenten zu betrachten.
Liegt natürlich auch dran was ihr im Unterricht besprochen habt. Wenn man gerade mit dem Thema Kurvendiskussion angefangen hat, wovon ich bei dir mal ausgehe, dann hat man das untere wohl nicht kennengelernt.
Das kommt normalerweise später. War jedenfalls bei mir so.

Eigentlich sind fast alle Funktionen zu irgendeinem Punkt symmetrisch. Wie zum Beispiel einem Wendepunkt.
Wenn man jedoch von Punkt oder Achsensymmetrie spricht, dann meint man eigentlich die Symmetrie zum Ursprung bzw. der y-Achse.
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vielleicht hilft Dir das hier: http://www.frustfrei-lernen.de/mathemati...everhalten.html

schon weiter.
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Gmasterflash --> Vielen Dank für deine Hilfe. So ausführlich wurde es mir noch nie erklärt :-)

@ Bürgi --> Herzlichen Dank für den Link. Ist auch super erklärt auf der Seite ;-)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau genommen habe ich gar nicht so viel erklärt. Wenn du

Zitat:
Ich muss es rechnerisch nachweisen. Das Herausfinden über den Exponenten ist mir bekannt-


direkt geschrieben hättest, dann hätte ich auch nicht so ausschweifend erklärt, dass du dieses Kriterium mit

und

eher nicht brauchen wirst. Big Laugh


Hast du den noch irgendwelche Fragen?
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage noch:

Eine Funktion ist punktsymmetrisch wenn:




Zum Beispiel habe ich die Funktion x³.

f (-x)³ = -f(x)³


Wie würde es hier dann weitergehen? Mich verwirrt das -f immer?
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Notation ist auch recht komisch.



Wenn du nun f(-x) berechnest, dann musst du eigentlich nur prüfen ob du eine Minus 1 ausklammern kannst und sich danach die original Funktion ergibt.



Wie es weitergeht kannst du nun bestimmt selber sagen.
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme als Beispiel jetzt einmal die Funktion



Jetzt soll ich diese Funktion auf Achsen-, bzw. Punktsymmetrie untersuchen.

Das würde dann heißen:



Eingesetzt:




Achsensymmetrie ist es somit schon einmal nicht, da nicht die Ausgangsgleichung als Ergebnis herauskommt.

Dann kann ich jetzt, um die Punktsymmetrie zu bestimmen, noch -1 ausklammern:




Sollte der Bereich in der Klammer jetzt mit der Ausgangsgleichung identisch sein, so wäre doch eine Punktsymmetrie vorhanden?


Trifft in meinem Fall aber auch nicht zu, also ist keine Symmetrie vorhanden.


Stimmt dies so?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Das heißt, dass die Funktion nicht zum Koordinationursprung symmetrisch ist.

Wenn du die Symmetrie prüfst, dann solltest du das besser so aufschreiben:




oder irgendwie ähnlich.

Jedenfalls, dass du beide Kriterien nennst und dann prüfst ob eines davon vorhanden ist.
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Würde es dir was ausmachen, die Punktsymmetrie an meinem Beispiel zu zeigen. Ich verstehe einfach das mit -f(x) nicht, wie ich da einsetzen muss?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es doch richtig gemacht.
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kenne ich mich garnicht mehr aus :-)

Also war nur meine Schreibweise von



falsch.

Diese sollte lauten:




Danach kann ich fortfahren, wie bereits angegeben.







Achsensymmetrie ist es somit schon einmal nicht, da nicht die Ausgangsgleichung als Ergebnis herauskommt.

Dann kann ich jetzt, um die Punktsymmetrie zu bestimmen, noch -1 ausklammern:

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Schreibweise war einfach falsch, auch wenn ich eigentlich nur von einem Tippfehler ausgegangen bin. Dachte das Minus sei versehentlich in die Klammer gerutscht.
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich es kapiert smile

Es war leider kein Tippfehler, ich hatte es einfach nicht verstanden.


Vielen, herzlichen Dank für deine Hilfe.

Ihr seit echt klasse hier im Forum. Dank Eurer Hilfe in den letzten Monaten bin ich um 7 Notenpunkte nach oben geklettert. (Früher waren es 6 Punkte, heute stehe ich bei 13 :-)


Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.


Toller Notensprung. Freude
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