A|Eig(1)

19.09.2013, 18:38	nobody7	Auf diesen Beitrag antworten »
A\|Eig(1) Guten abend. ich sitze vor folgender aufgabe: ich habe eine matrix A gegeben, deren charakteristisches polynom (1-x)^4 ist. hierbei muss ich die Jordannormalform bestimmen (schon gemacht) und zusätzlich A\|Eig(1) bestimmen! doch leider finde ich weder im skript noch im buch, was mit diesem A\|Eig(1) gemeint sein könnte.. kann wer weiterhelfen?
19.09.2013, 18:58	nobody7	Auf diesen Beitrag antworten »
falls die matrix hierfür wichtig ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
20.09.2013, 09:02	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalerweise ist die Standardvorgehensweise, dass man die iterierten Eigenräume $\begin{eqnarray} Kern(A-1E), Kern(A-1E)^2, Kern(A-1E)^3 ... \end{eqnarray}$ bestimmt, bis man den Exponent im Minimalpolynom gefunden hat. Das ist ja gerade der Exponent, bei dem die Dimension des Kerns die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts erreicht hat, d.h. in diesem Fall 4 (Das is spätestens beim Exponent 4 natürlich der Fall, aber i.A. passiert das schon früher). Wichtig sind dann vor allem 2 Kenngrößen: 1. Die Dimension des Eigenraums 2. Der Exponent des Minimalpolynoms Wie man aus diesen Informationen die Jordan-Form ablesen kann, steht doch bestimmt in deinen Unterlagen oder? Irgendwann habe ich mir mal Gedanken gemacht bis zur welchen algebraischen Vielfachheit diese beiden Größen die Jordanform eindeutig festlegen. 4 war auf jeden Fall noch dabei Tatsache ist sogar: Bei der algebraischen Vielfachheit 4 geht es sehr sehr schnell: Wenn der Eigenraum Dimension 1,3 oder 4 hat, is man sofort fertig und die Jordan-Form eindeutig bestimmt. Nur wenn der Eigenraum Dimension 2 hat, muss man noch überprüfen ob in der zweiten Potenz Dimension 3 oder 4 vorliegt. Das bestimmt dann auch die Jordanform eindeutig. Wichtig für solche "Tricks" ist folgende Tatsache: Ist A ein Endomorphismus auf einem endlichdim. Vektorraum, so haben wir eine aufsteigende Folge $\begin{eqnarray} 0 = \dim Kern(A^0) \leq \dim Kern(A) \leq \dim Kern(A^2) \leq \dim Kern(A^3) \leq \dotsc \end{eqnarray}$ Dabei ist die Differenzenfolge $\begin{eqnarray} \dim Kern(A^{i+1}) - \dim Kern(A^i) \end{eqnarray}$ tatsächloch monoton fallend, d.h. der "Dimensionssprung" in jedem Schritt kann nie größer werden. Zusammen mit der Information, dass wir in unserem Fall wissen, welche maximale Dimension tatsächlich erreicht wird, kann man schon nach wenigen Schritten vorhersagen, wie die Folge aussehen muss (wobei "wenig" hier natürlich immer von der algebraischen Vielfachheit abhängt). Insbesondere haben wir: Ist $\begin{eqnarray} \dim Kern(A) = 1 \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} \dim Kern(A^i) = i \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ bis zur algebraischen Vielfachheit, d.h. der Exponent im Minimalpolynom ist maximal.
20.09.2013, 17:17	nobody7	Auf diesen Beitrag antworten »
also für die jordannoralform hätte ich folgendes rausgebracht: J = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die zugehörige Matrix S für die Gleichung J = SAS^{-1} sieht folgendermaßen aus: S = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Doch der 2. Teil der aufgabe lautet: wie sieht A\|Eig(1) aus? was ist mit dieser Notation gemeint? wie muss ich das berechnen?

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