Quantoren

19.09.2013, 20:20

Erdbeer

Quantoren

Meine Frage:
(Ich hoffe das gehört mal zu Algebra.)

Hallo Mathematiker.

Ich bin zurzeit im Vorkurs Mathematik und habe das Problem, dass ich irgendwie gar nicht richtig Quantoren verstehe, wie man sie liest und wie man selber welche bauen kann. Sehr einfache Aussagen mit einem Quantor kann ich denke ich noch, aber ich habe keine Ahnung bei:

"Formulieren Sie eine wahre mathematische Aussage der Form mit Quantoren und in Worten $\begin{eqnarray*} \exists \forall \exists : A \end{eqnarray*}$ ."
Wobei ich halt zwischen den Quantoren was einfügen muss.

Andere Beispiele die ich mir angesehen habe mit einem oder 2 Quantoren wurden nur sowas wie: $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ eingefügt und zum Schluss eine wahre Aussage gemacht, wie z.B. m>n.
Kann man hinter dem Quantor eventuell auch noch was anderes schreiben? Außer das etwas ein Element von z.B. N ist?

Eventuell wäre ein ähnliches Beispiel (bitte mit 3 Quantoren) hilfreich :S

Meine Ideen:
Ich könnte da zwar mehrere Sachen hinschreiben, aber dies wäre willkülich und ohne Verstand. Ich hab nämlich nicht mal eine Ahnung, wie ich richtig anfangen soll.
Eventuell habt ihr da ja ein Trick oder ne Reihenfolge, was ich mir da zurerst überlegen muss.

MfG

19.09.2013, 20:45

Che Netzer

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RE: Quantoren

Zitat:

Original von Erdbeer
(Ich hoffe das gehört mal zu Algebra.)

Das würde ich eher der Logik zuordnen.
Ich persönlich mag ja keine Quantoren und arbeite lieber mit ausformulierten Sätzen. Wenn man Zeit genug hat (nicht an der Tafel steht), die aufzuschreiben, sollte man das auch tun (und ggf. danach die kürzere Quantorenschreibweise angeben), zumindest in gewissem Rahmen.
Daher auch mein Tipp: Formuliere einen Satz der Form "Es gibt ein [...], so dass es für alle [...] ein [...] gibt, so dass [...] gilt".
Überlege dir dann erst (!), wie du die gesuchte Quantorenschreibweise erhältst.

Was genau hinter einem Quantor stehen kann, kannst du dir in deinen Unterlagen oder auf Wikipedia nachlesen.

19.09.2013, 22:22

Erdbeer

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RE: Quantoren
Danke schonmal. Das hilft mir ein großes Stück weiter. Dennoch bin ich mir sehr unsicher, was ich da jetzt in die Lücken fülle.

Hab mir jetzt gedacht:

Es gibt mind. eine natürliche Zahl m, sodass es für alle natürlichen Zahlen n, mind. ein m=n gibt, sodass 2m>n² ist.

Ist das so richtig?
Irgendwie hört sich das komisch an :S Ich hoffe jemand kann mir da mal weiter helfen.

19.09.2013, 22:32

Che Netzer

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RE: Quantoren

Zitat:

Original von Erdbeer
Es gibt mind. eine natürliche Zahl m, sodass es für alle natürlichen Zahlen n

Bis hierhin ist noch alles in Ordnung.
Danach solltest du aber eher sagen, dass es ein Element aus einer bestimmten Menge gibt, so dass irgendetwas gilt. Etwas wie "Es gibt ein $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ " ist sinnlos. Beide verwendeten Buchstaben wurden schon eingeführt und die Gleichheit kann niemals für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten. Würde man außerdem $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ auf diese Weise einführen wollen, wäre $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ schon eindeutig bestimmt, d.h. "es gibt" wäre sinnfrei.

Im nächsten "es gibt" musst du einen neuen Buchstaben einführen. Zum Beispiel:

Zitat:

Es gibt mind. eine natürliche Zahl m, so dass es für alle natürlichen Zahlen n mind. eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gibt, so dass [...]

Meinetwegen nimm dann $\begin{eqnarray*} k>m+n \end{eqnarray*}$ als Aussage:

Zitat:

Es gibt mind. eine natürliche Zahl m, so dass es für alle natürlichen Zahlen n mind. eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} k>m+n \end{eqnarray*}$ gilt.

] Überzeug dich kurz davon, dass die Behauptung dann wahr ist und widme dich der Umwandlung in Quantorenschreibweise.

PS: "so dass" schreibt man hier übrigens auseinander. "sodass" wäre eine Folgerung.
Beispiele:
Wir wählen $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} x-1=0 \end{eqnarray*}$ .
Es gibt ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} x-1=0 \end{eqnarray*}$ .
Wir wählen $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} x-1=0 \end{eqnarray*}$ .

19.09.2013, 23:09

Erdbeer

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Das mit der Quantor Schreibweise überspringe ich mal, da das denke ich für mich klar ist und in der Aufgabe schon teilweise angezeigt wurde.

Ich hätte da aber eine andere Frage dazu:

Es wurde gesagt, dass man Existenz- und All-Quantoren nicht vertauschen darf. Ich denke das ich ein Problem habe den ganzen Satz (Also Quantoren und Aussage zusammen) im Zusammenhang zu verstehen.

Nehmen wir jetzt das Beispiel: "Es gibt mind. eine natürliche Zahl m, so dass es für alle natürlichen Zahlen n mind. eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} k>m+n \end{eqnarray*}$ gilt."

Wenn ich es richtig verstehe, dann ist das so ungenau, dass die Aussage passen muss.
Einfach nur das irgendein m mit egal welchem n zusammen kleiner sind als mind irgendein k. Wobei m, n und k aus den natürlichen Zahlen bestehen.

Wen ich jetzt einfach mal 2 Quantoren mit ihrem Inhalt vertausche:
Für jede natürliche Zahl n, gibt es eine natpürliche Zahl m, so dass es eine natürliche Zahl k gibt, so dass k>m+n gilt.

Also für mich wäre das jetzt auch richtig oder habe ich da ein Denkfehler? Also für mich ist es eig das selbe wie zuvor.

19.09.2013, 23:18

Che Netzer

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Das ist aber nur zufällig richtig Augenzwinkern

Im allgemeinen muss das nich gelten. Setz doch mal das "Es gibt ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ " ganz nach vorne. Die Aussage, die ich da aufgestellt habe, ist nämlich ziemlich witzlos, denn am Ende erst wählen wir das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , welches beliebig groß werden kann, womit $\begin{eqnarray*} k>m+n \end{eqnarray*}$ für jede Wahl von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ stimmen kann.
In
$\begin{eqnarray*} ?m\in\mathbb N?n\in\mathbb N\exists k\in\mathbb N:k>m+n \end{eqnarray*}$
kannst du die Fragezeichen also beliebig durch irgendwelche Quantoren ersetzen. Insbesondere ist dann auch die Benennung von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ irrelevant und du kannst die ersten beiden Quantoren beliebig vertauschen. Ein anderes Beispiel, an dem das Problem noch deutlicher wird:
$\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb R\exists n\in\mathbb N\forall \delta\in(0,\infty)\forall y\in[-1,1]\exists k\in\mathbb Z\forall\xi\in[0,1)\exists a\in\mathbb R:a=1\,. \end{eqnarray*}$
Du siehst hoffentlich, dass die Aussage immer stimmt und die Reihenfolge der ersten Quantoren sche**egal ist, solange man $\begin{eqnarray*} \exists a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ irgendwohin schreibt Augenzwinkern

Wenn nicht, dann schreib am Ende $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ .
Je sinnvoller die Aussage, desto unwahrscheinlicher ist es aber, dass man zwei (verschiedene) Quantoren vertauschen darf.

19.09.2013, 23:38

Erdbeer

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Öhh soo ein langer Quantoren- Satz (keine Ahnung wie man sowas nennt) kann ich zwar nicht richtig lesen bzw. verstehen, aber ich glaube so langsam wird das alles bisschen klarer und deine Kernaussage habe ich zumindest verstanden Big Laugh

Vielen Dank für deine Hilfe!

Ich werde mir das morgen nochmal richtig anschauen und meine restlichen Aufgaben im Bezug auf Quantoren bearbeiten und schauen, ob ich da durchblicke Augenzwinkern

20.09.2013, 08:33

Che Netzer

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Zitat:

Original von Erdbeer
Öhh soo ein langer Quantoren- Satz (keine Ahnung wie man sowas nennt) kann ich zwar nicht richtig lesen bzw. verstehen

Keine Sorge, ich hätte auch keine Lust den vorzulesen und das wäre auch ein Fall, in dem ich die Quantorenschreibeweise akzeptieren statt sie ausschreiben würde Augenzwinkern

20.09.2013, 09:02

Huggy

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Zitat:

Original von Che Netzer
Je sinnvoller die Aussage, desto unwahrscheinlicher ist es aber, dass man zwei (verschiedene) Quantoren vertauschen darf.

Dazu vielleicht ein außermathematisches Beispiel. Man betrachte die Aussage P(x, y), welche bedeuten soll, die Person x ist Präsident des Vereins y. Dann bedeutet

$\begin{eqnarray*} \forall y \exists x P(x,y) \end{eqnarray*}$

Für jeden Verein y gibt es eine Person x, die Präsident von y ist. Oder noch mehr umgangssprachlich: Jeder Verein hat einen Präsidenten. Das wird im allgemeinen auch stimmen. Nehmen wir an, es stimmt, dann stimmt das nach Vertauschung der Quantoren noch lange nicht:

$\begin{eqnarray*} \exists x \forall y P(x,y) \end{eqnarray*}$

Das würde nämlich bedeuten, es gibt eine Person x, die Präsident von allen Vereinen y ist.

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