Aufgabe zu Aussagenlogik

22.09.2013, 17:12

netik

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Aufgabe zu Aussagenlogik

Hallo, ich quäle mich seit einer Stunde mit folgender Aufgabe rum:
$\begin{eqnarray*} <br /> (\neg a \vee c) \wedge (b \vee \neg c) \wedge (a \vee b) <br /> \end{eqnarray*}$

Mein Versuch:

Distributivgesetz anwenden:
$\begin{eqnarray*} <br /> (\neg a \vee c) \wedge b \vee (\neg c \wedge a)<br /> \end{eqnarray*}$

Und jetzt?

Die letzte Klammer ist ja nun das Gegenteil von der ersten. Ich dachte mir nun, dass ich vlt. mit dem De Morganschen Gesetz die letzte Klammer umformen könnte:
$\begin{eqnarray*} <br /> (\neg a \vee c) \wedge b \vee \neg (c \vee \neg a)<br /> \end{eqnarray*}$

Nach dem Komplementärgesetz (a or not a = 1) wäre die Lösung ja nun:
$\begin{eqnarray*} <br /> 1 \vee b<br /> \end{eqnarray*}$

Die korrekte Lösung lautet jedoch:
$\begin{eqnarray*} <br /> (\neg a \vee c) \wedge b<br /> \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Fehler und wie kommt man auf diese Lösung?

Herzliches Dankeschön!

22.09.2013, 18:45

Adramelec

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Hallo,

Also bis zum Distributivgesetz stimmts.

Der letzte Ausdruck ist nicht ident mit dem ersten, weil du davor noch ein nicht hast. Das nicht würde sich ja dann nicht in Luft auflösen. Lass das nicht lieber in der Klammer und denk über deinen kompletten Audruck gut drüber nach.

(wenn a oder c wahr bzw. falsch ist, was für Auswirkungen hat das)

Eigentlich solltest du das dann recht schnell erkennen :-) (Helfe aber gerne nochmal intensiver auf die Sprünge)

22.09.2013, 22:26

netik

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Hallo,
Danke erstmals.

Also so wie es ausschaut, spielt es gar keine Rolle welche Werte a und c haben, oder?

Aber wie ich den Ausdruck nun vereinfachen kann, ist mir immer noch ein Rätsel smile

smile

Wir hatten bisher immer nur Aufgaben, bei denen man stur nach den Regeln der boolschen Algebra vorgehen konnte, doch hier bringen mich diese alleine scheinbar nicht zum Ziel.

22.09.2013, 22:51

Adramelec

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Sry. Ich hatte vorher etwas sehr schnell reagiert. Deine Anwendung des Distributivgesetz ist fast richtig.
Das Distributivgesetz stimmt, denk aber bitte an die Klammerung. Wo "gehört" denn das b dazu? ;-)

PS: Ich bin dann mal für heute raus. Wenn du die Klammerung hast. Schau mal was wirklich wichtig ist, damit der komplette Ausdruck als wahr ist. (Vergiss nicht, bei der Konjunktion müss beides wahr sein, bei der Disjunktion reicht es wenn mindestens eines wahr ist und dann schau mal)

Wenn du schaust, was wichtig ist, weißt du eigentlich automatisch was dir unwichtig ist und siehst auch dass du es "weglassen" kannst, weil es keine Auswirkung auf den Gesamtheitswahrheitswert (eigener Entwurf des Wortes) hat.

Ich schau aber morgen sicher nochmal rein smile

smile

23.09.2013, 08:19

netik

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RE: Aufgabe zu Aussagenlogik
Ok, neuer Versuch :P

$\begin{eqnarray*} <br /> (\neg a \vee c) \wedge (b \vee \neg c) \wedge (a \vee b) <br /> <br /> = (\neg a \vee c) \wedge [b \vee (a \wedge \neg c)]<br /> \end{eqnarray*}$

Nach welchem Gesetz kann ich denn nun die letzte Klammer weglassen? smile

smile

23.09.2013, 10:30

Adramelec

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Sehr gut

smile

Ist dir auch klar, warum man die letzte Klammer weglassen kann?

Zeig doch einfach dass die beiden Ausdrücke äquivalent sind :-)

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23.09.2013, 10:38

netik

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Zitat:

Original von Adramelec
Sehr gut smile

smile

Ist dir auch klar, warum man die letzte Klammer weglassen kann?

Zeig doch einfach dass die beiden Ausdrücke äquivalent sind :-)

Nein das sehe ich eben nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie sind
$\begin{eqnarray*} <br /> (\neg a \vee c)<br /> \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} <br /> (a \wedge \neg c) \end{eqnarray*}$
äquivalent?

23.09.2013, 11:04

Adramelec

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Ah ok, sehr gut, wollte gerade nochmal zeigen wie mans noch beweisen kann... Also ich hab 2 Ansätze für dich, ja? smile

smile

1. Wenn eines von den beiden Variablen in dieser Formel $\begin{eqnarray*} (\neg a \vee c) \end{eqnarray*}$ wahr ist, ist es in diesem Ausdruck $\begin{eqnarray*} (a \wedge \neg c) \end{eqnarray*}$ falsch. (Weil ja genau das Gegenteil)

Okay, was bedeutet das? Das bedeutet, wenn $\begin{eqnarray*} \neg a und c \end{eqnarray*}$ wahr sind. Ist $\begin{eqnarray*} a und \neg c \end{eqnarray*}$ falsch. Wen aber b wahr ist, ist egal, dass der Ausdruck $\begin{eqnarray*} a \wedge \neg c \end{eqnarray*}$ falsch ist. (Wenn nicht klar, bitte Wahrheitstabelle des Oders ansehen)

So und das wäre der schlimmste anzunehmste Fall. Weil alles andere erzeugt hinten auch ein wahr.

Wenn $\begin{eqnarray*} \neg a \vee c \end{eqnarray*}$ falsch ist, dann ist auch wurscht, was dahinter kommt, weil ja durch das UND festgesetzt ist, dass beides wahr sein muss und das wäre ja dann schon nicht mehr erfüllt. Also wie du siehst, fällts und stehts mit dem ersten Ausdruck und dem b.

(Ich hoffe ich konnte dir das irgendwie näher bringen, weil ich finds nicht unwichtig, dass man mal darüber nachdenkt als einfach Gesetze anwendet)

2. Möglichkeit:
Du könntest natürlich auch noch so argumentieren:
$\begin{eqnarray*} (b \vee \neg c) \wedge (a \vee b) \leftrightarrow b \end{eqnarray*}$
Das ist dann das Absorptionsgesetz.

23.09.2013, 11:41

jimmyt

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@Adramelec :

Das verstehe ich nicht:

Zitat:

Original von Adramelec
...
2. Möglichkeit:
Du könntest natürlich auch noch so argumentieren:
$\begin{eqnarray*} (b \vee \neg c) \wedge (a \vee b) \leftrightarrow b \end{eqnarray*}$
Das ist dann das Absorptionsgesetz.

Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} b=0, \, a=1, \, c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b \vee \neg c) \wedge (a \vee b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (0 \vee \neg 0) \wedge (1 \vee 0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (0 \vee 1) \wedge (1 \vee 0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 \wedge 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 \neq b = 0 \end{eqnarray*}$

Beim Absorptionsgesetz funktioniert es aber, wie hier zu sehen:

$\begin{eqnarray*} a \vee (a \wedge b) = (a \vee a) \wedge (a \vee b) = a \end{eqnarray*}$

weil:

$\begin{eqnarray*} a = 1: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a \vee a) \wedge (a \vee b) = (1 \vee 1) \wedge (1 \vee b) = 1 \wedge 1 = 1 = a = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a \vee a) \wedge (a \vee b) = (0 \vee 0) \wedge (0 \vee b) = 0 \wedge b = 0 = a = 0 \end{eqnarray*}$

23.09.2013, 11:59

Adramelec

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Du hast absolut Recht.
Das Absorbationsgesetz gilt nur so, wie du es formuliert hast, sry.

Dann ist mir kein Gesetz bekannt, welches erlaubt die Klammer wegzulassen. (eventuell kennt aber jemand anderer ein Gesetz?!)

Am einfachsten ist es wohl (notfalls mit Wahrheitstabelle) zu argumentieren, dass beide Ausdrücke den identischen Wahrheitswert haben und somit äquivalent zu einander sind.

Also:
$\begin{eqnarray*} (\neg a \vee c) \wedge (b \vee (a \wedge \neg c)) = (\neg a \vee c) \wedge b \end{eqnarray*}$

Vorrangig ist das du weißt, warum mans weglassen kann, ein entsprechendes Gesetz dafür (falls vorhanden) kann man auch sicher ergoogeln.. smile

smile

23.09.2013, 12:53

jimmyt

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Zitat:

Original von Adramelec
...
Am einfachsten ist es wohl (notfalls mit Wahrheitstabelle) zu argumentieren, dass beide Ausdrücke den identischen Wahrheitswert haben und somit äquivalent zu einander sind.

Also:

$\begin{eqnarray*} (\neg a \vee c) \wedge (b \vee (a \wedge \neg c)) = (\neg a \vee c) \wedge b \end{eqnarray*}$
...

Als Tipp noch von mir:

$\begin{eqnarray*} (\neg a \vee c) \wedge (b \vee (a \wedge \neg c)) = \dots \wedge b \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} (\neg a \vee c) \end{eqnarray*}$ ebenfalls, dann haben beide Terme links und rechts den Wert 1.
Wenn $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ ist, spielt es keine Rolle was im rechten Ausdruck noch vor dem logischen Und steht, weil rechts steht dann auf jeden Fall der Wert 0.
Links musst du nur die die 2 Fälle anschauen $\begin{eqnarray*} (\neg a \vee c) \end{eqnarray*}$ hat den Wert 0 und $\begin{eqnarray*} (a \wedge \neg c) \end{eqnarray*}$ hat den Wert 1 und umgekehrt.
Dann hast du es bewiesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.09.2013, 13:29

Adramelec

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Exakt!

smile

Genau das hab ich versucht zu erklären in meinem obrigen Post mit
"1. .."

Eigentlich ists ziemlich trivial, ich weiß aber natürlich nicht, wie aussagenlogisch genau dass der TE beweisen muss...

Aber diese Argumentation sollte reichen smile

smile

23.09.2013, 13:54

jimmyt

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Zitat:

...
$\begin{eqnarray*} (\neg a \vee c) \wedge (b \vee (a \wedge \neg c)) = (\neg a \vee c) \wedge b \end{eqnarray*}$
...

Vielleicht ist es einfacher, die Ausdrücke $\begin{eqnarray*} (\neg a \vee c) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a \wedge \neg c) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \neg z \end{eqnarray*}$ zu ersetzen.
Dadurch wird es übersichtlicher.

$\begin{eqnarray*} z \wedge (b \vee \neg z) = z \wedge b \end{eqnarray*}$

und das wäre:

$\begin{eqnarray*} (z \wedge b) \vee ( z \wedge \neg z) = z \wedge b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \dots = z \wedge b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow z \wedge b = z \wedge b \end{eqnarray*}$

Wie wäre das? Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.09.2013, 14:31

jimmyt

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@netik :

Zitat:

Original von netik
...
Wie sind
$\begin{eqnarray*} <br /> (\neg a \vee c)<br /> \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} <br /> (a \wedge \neg c) \end{eqnarray*}$
äquivalent?

Die sind nicht äquivalent, sondern komplementär. Das eine ist das Komplement (Gegenteil) vom anderen.
Hier:

$\begin{eqnarray*} \neg (\neg a \vee c) \stackrel{De\, Morgan}{=} \neg (\neg a) \wedge \neg c = a \wedge \neg c \end{eqnarray*}$

Ist es jetzt für dich, nach den letzten Postings von mir und Adramelec, klarer geworden?
Eine kurze Rückmeldung wäre nett. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.09.2013, 15:00

netik

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Zitat:

Original von jimmyt
Die sind nicht äquivalent, sondern komplementär. Das eine ist das Komplement (Gegenteil) vom anderen.

Genau, mich hat die Aufforderung von Adramelec verwirrt, die Äquivalenz der beiden Aussagen zu beweisen, da sie für mich von Anfang an das Gegenteil bedeuteten smile

smile

Zitat:

Original von jimmyt
Ist es jetzt für dich, nach den letzten Postings von mir und Adramelec, klarer geworden?
Eine kurze Rückmeldung wäre nett. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, ich glaube durch die Substitution und die Vorarbeit von Adramelec hat es nun endlich Klick gemacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank euch, besonders auch für die Geduld Adramelec Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.09.2013, 15:45

Adramelec

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Bitte

smile

(Ja, ich hab das nie dementiert sondern wollte dir den anderen Weg zeigen und hab dadurch völlig vergessen, zu sagen, dass das natürlich nicht äquivalent ist sondern eben das genau Gegenteil, was ich versucht habe verbal zu formulieren unter meinem Beitrag "1..." smile

smile

- Wie gesagt, ich finds wichtiger, nicht Gesetze auswendig zu lernen, sondern ein gewissen "Blick" dafür zu bekommen. Und der kommt mit der Übung sowieso smile

smile

Und die Gesetze kann man sich, wenn notwendig, raussuchen.)

23.09.2013, 17:51

jimmyt

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@netik :

Keine Ursache. Jederzeit gerne wieder. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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