Lebesgue-Zerlegung bestimmen

23.09.2013, 21:10

Studentu

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Lebesgue-Zerlegung bestimmen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich hoffe ihr könnt mir helfen! (:
Die Angabe lautet: Gegeben sind die Verteilungsfunktionen
F(x) = 0 für x < 0; F(x) = x+1 für 1<=x<2; F(x) = x^2 für 2 <= x und
G(x) = x für x < 1; G(x) = x^2 für 1 <= x < 3; G(x) = 10 für 3 <= x.
Bestimmen Sie die Lebesgue-Zerlegung von $\begin{eqnarray*} \mu_G \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich $\begin{eqnarray*} \mu_G \end{eqnarray*}$ (=: g) nun in g1 und g2 zerlegen muss, sodass g = g1 + g2 und g1<< $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ und g2 singulär zu $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ .
Ich habe mir die Graphen der beiden Verteilungsfunktionen auch schon skizziert und gesehen, dass sie gleich sind für x<0 (denn da sind die Maße null, weil kleiner als null können sie ja per Definition nicht sein) und gleich für 2<=x<3.
Da g1 absolutstetig bzgl. $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ sein muss, habe ich mal angesetzt mit g1(x) = 0 für x < 0.
Nun komme ich aber nicht recht weiter, bitte erklärt mir, wie man an sowas herangeht (:

23.09.2013, 21:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Studentu
dass sie gleich sind für x<0 (denn da sind die Maße null, weil kleiner als null können sie ja per Definition nicht sein

Ich lese da aber $\begin{eqnarray*} G(x) = x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ , das würde ich so geschrieben als für alle (!) $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ deuten...

Soll das also stattdessen nur für $\begin{eqnarray*} 0\leq x<1 \end{eqnarray*}$ gelten und zusätzlich $\begin{eqnarray*} G(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

24.09.2013, 00:55

Studentu

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Darüber hab ich mich auch gewundert, ich glaube, es ist ein Fehler in der Angabe...
Ginge es denn überhaupt, dass G(-3)=-3 für x<1, weil dann wäre doch $\begin{eqnarray*} \mu_G \end{eqnarray*}$ (X<=-3)=-3, somit negativ und das geht doch nicht?
Aber egal, wovon wir jetzt ausgehen, mir ist ja vor allem wichtig, wie man dann weitermacht (:

24.09.2013, 08:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Studentu
Ginge es denn überhaupt, dass G(-3)=-3 für x<1, weil dann wäre doch $\begin{eqnarray*} \mu_G \end{eqnarray*}$ (X<=-3)=-3, somit negativ und das geht doch nicht?

Korrekt formuliert (obwohl, im Grenzwert etwas "salopp") müsste es lauten

$\begin{eqnarray*} \mu_G((-\infty,-3]) = G(-3)-G(-\infty) = (-3)-(-\infty) = \infty \end{eqnarray*}$ ,

falls $\begin{eqnarray*} \mu_G \end{eqnarray*}$ ein endliches Maß sein soll, geht das mit diesem $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ natürlich nicht.

Soll es aber nur $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlich sein, so spricht nichts dagegen: In dem Fall benötigt man lediglich, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ monoton wachsend und rechtsstetig ist, und das Maß selbst ist dann definiert über $\begin{eqnarray*} \mu_G((a,b]) := G(b)-G(a) \end{eqnarray*}$ , was im Fall $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ ja stets nichtnegativ ist. Das obige $\begin{eqnarray*} \mu_G((-\infty,-3]) = \infty \end{eqnarray*}$ ist in diesem Fall der korrekte Wert.

EDIT: Darüber hinaus sehe ich hier

Zitat:

Original von Studentu
F(x) = 0 für x < 0; F(x) = x+1 für 1<=x<2; F(x) = x^2 für 2 <= x

noch eine Definitionslücke für $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ , die du noch schließen solltest, bevor wir überhaupt anfangen können, inhaltlich die Aufgabe zu diskutieren.

25.09.2013, 12:00

Studentu

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Also nochmal zum ersten punkt: Ein Lebesgue-Maß muss ja für beschränkte Mengen endliche Werte annehmen, also auch das Maß aus dem Beispiel oder? Nun ist $\begin{eqnarray*} (-\infty,-3] \end{eqnarray*}$ nach unten offen, das heißt, es darf auch einen unendlichen Wert annehmen, richtig?
Demnach kann das in der Angabe auch korrekt sein, dass G(x)=x für x<1. (?)

Zu 2.: Ich weiß leider auch nicht mehr als das, was ich geschrieben hab, die Angabe ist so. Muss die Verteilungsfunktion denn wirklich immer überall definiert sein oder gibt's da auch Ausnahmen?
Sonst vermute ich mal, es ist gemeint, F(x) = 0 für x<1.

25.09.2013, 12:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Studentu
Demnach kann das in der Angabe auch korrekt sein, dass G(x)=x für x<1. (?)

Genau so habe ich es gemeint.

Zitat:

Original von Studentu
Muss die Verteilungsfunktion denn wirklich immer überall definiert sein oder gibt's da auch Ausnahmen?

Du machst Witze, oder? Wenn $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sogar intervallweise fehlt, dann ist $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ nur lückenhaft bekannt, und wie soll denn dann das hier

Zitat:

Original von Studentu
Bestimmen Sie die Lebesgue-Zerlegung von $\begin{eqnarray*} \mu_G \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ .

berechnet werden? unglücklich

unglücklich

EDIT: Nun, gehen wir von

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\, x < 1 \\ x+1 & \;\mbox{für}\, 1\leq x < 2 \\ x^2 & \;\mbox{für}\, x\geq 2\end{cases} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} G(x) = \begin{cases} x & \;\mbox{für}\, x < 1 \\ x^2 & \;\mbox{für}\, 1\leq x < 3 \\ 10 & \;\mbox{für}\, x \geq 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

aus.

Ich geb hier mal - entgegen der Boardregeln - eine Komplettlösung an. Zum einen, weil es eine derartige Aufgabe hier bisher sehr selten (vielleicht gar nicht) gegeben hat. Zum anderen, weil es bei der bisher angelaufenen sehr langsamen Kommunikation hier wohl sehr, sehr lange dauern würde - bis dahin habe ich schon wieder alles vergessen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ok, es geht darum $\begin{eqnarray*} \mu_G \end{eqnarray*}$ in einen bzgl. $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ stetigen Anteil $\begin{eqnarray*} \mu_{G_1} \end{eqnarray*}$ sowie einen singulären Anteil $\begin{eqnarray*} \mu_{G_2} \end{eqnarray*}$ zu zerlegen. Das geht im Prinzip so, dass man zwei Maß-Verteilungsfunktionen $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G(x)=G_1(x)+G_2(x) \end{eqnarray*}$ so angibt, dass aus $\begin{eqnarray*} \mu_F(A)=0 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} \mu_{G_1}(A)=0 \end{eqnarray*}$ folgt, und dass es andererseits eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus N \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \mu_F(N) = \mu_{G_2}(\mathbb{R}\setminus N) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Über

$\begin{eqnarray*} F(x)+G(x) = \begin{cases} x & \;\mbox{für}\, x < 1 \\ x^2+x+1 & \;\mbox{für}\, 1\leq x < 2 \\ 2x^2 & \;\mbox{für}\, 2\leq x < 3 \\ x^2+10 & \;\mbox{für}\, x\geq 3\end{cases} \end{eqnarray*}$

ist ein $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endliches Maß $\begin{eqnarray*} \eta:=\mu_{F+G}=\mu_F+\mu_G \end{eqnarray*}$ definiert. Nun ist $\begin{eqnarray*} \mu_F \ll \eta \end{eqnarray*}$ mit Dichte $\begin{eqnarray*} \pi(x) = \frac{F'(x)}{F'(x)+G'(x)} \end{eqnarray*}$ an den Differenzierbarkeitspunkten von $\begin{eqnarray*} F+G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F'(x)+G'(x)>0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \pi(x) = \frac{F(x)-F(x-0)}{F(x)-F(x-0)+G(x)-G(x-0)} \end{eqnarray*}$ an den Sprungstellen von $\begin{eqnarray*} F+G \end{eqnarray*}$ , ansonsten beliebig. Das ergibt

$\begin{eqnarray*} \pi(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\,x<1 \\ 1 & \;\mbox{für}\,x=1 \\ \frac{1}{2x+1} & \;\mbox{für}\,1<x<2 \\ 1 & \;\mbox{für}\, x=2 \\ \frac{1}{2} & \;\mbox{für}\, 2<x<3 \\ 0 & \;\mbox{für}\, x=3 \\ 1 & \;\mbox{für}\, x>3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Daraus können wir nun $\begin{eqnarray*} N = \pi^{-1}(\{0\}) = (-\infty,1)\cup \{3\} \end{eqnarray*}$ und somit auch dessen Komplementärmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus N = [1,3)\cup (3,\infty) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Die Zerlegungsmaße sind nun über

$\begin{eqnarray*} \mu_{G_1}(A) = \mu_G(A\cap (\mathbb{R}\setminus N)) = \mu_G(A\cap ([1,3)\cup (3,\infty))) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu_{G_2}(A) = \mu_G(A\cap N) = \mu_G(A\cap ((-\infty,1)\cup \{3\})) \end{eqnarray*}$

eindeutig definiert ( $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ selbst ist nicht notwendig eindeutig), das ist z.B. über

$\begin{eqnarray*} G_1(x) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\, x < 1 \\ x^2 & \;\mbox{für}\, 1\leq x < 3 \\ 9 &\;\mbox{für}\, x\geq 3\end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_2(x) = \begin{cases} x-1 & \;\mbox{für}\, x < 1 \\ 0 & \;\mbox{für}\, 1\leq x < 3 \\ 1 & \;\mbox{für}\, x \geq 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

erreichbar. Letztlich kann man auch noch die Dichte $\begin{eqnarray*} f = \frac{\dd \mu_{G_1}}{\dd \mu_F} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus N = [1,3)\cup (3,\infty) \end{eqnarray*}$ bestimmen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\,x=1 \\ 2x & \;\mbox{für}\,1<x<2 \\ 0 & \;\mbox{für}\, x=2 \\ 1 & \;\mbox{für}\, 2<x<3 \\ 0 & \;\mbox{für}\, x> 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

für die anderen $\begin{eqnarray*} x\in N = (-\infty,1)\cup \{3\} \end{eqnarray*}$ ist der Wert von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ irrelevant, d.h. beliebig wählbar. Die Berechnung geschieht dabei ähnlich wie oben schon bei $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ beschrieben.

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26.09.2013, 13:21

Studentu

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Hallo, HAL 9000, danke für deine ausführliche Antwort.
Da ich die Vorgehensweise bei derartigen Beispielen aber komplett verstehen möchte, hier noch ein paar Fragen dazu:

Ich hätte immer gedacht, da die Menge A, für die $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ Null wird, alle x<1 sind und $\begin{eqnarray*} \mu_{G_1} \end{eqnarray*}$ absolutstetig bzgl $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ sein soll, wäre hier die gleiche Menge A (x<1) jene, für die $\begin{eqnarray*} \mu_{G_1} \end{eqnarray*}$ Null wird und dass dann die Komplementärmenge der Menge A, für die $\begin{eqnarray*} \mu_{G_1} \end{eqnarray*}$ Null wird, also $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ die Menge ist, für die $\begin{eqnarray*} \mu_{G_2} \end{eqnarray*}$ Null wird, wonach dein A und N dann ident wären?

Bis zu $\begin{eqnarray*} \eta:=\mu_{F+G}=\mu_F+\mu_G \end{eqnarray*}$ ist mir sonst alles klar. Nur darauf, dass man die beiden Verteilungsfunktionen zusammenzählen muss, wäre ich nicht gekommen. Ist das bei solchen Beispielen immer so?

Du bestimmst dann die Dichte $\begin{eqnarray*} \pi(x) = \frac{F'(x)}{F'(x)+G'(x)} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ . Dichte wird in meinen Unterlagen leider völlig vernachlässigt, nur die Radon-Nikodym-Dichte wird erwähnt. Ich dachte, die Dichte von F wäre einfach F', kannst du mir bitte erklären, warum das hier die Dichte ist?

Das gleiche Verständnisproblem habe ich hier: $\begin{eqnarray*} \pi(x) = \frac{F(x)-F(x-0)}{F(x)-F(x-0)+G(x)-G(x-0)} \end{eqnarray*}$ Wie kommst du darauf? Und was genau ist F(x-0) bzw. G(x-0)? (weil x-0 = x und dann wäre F(x-0)=F(x) und dann wäre doch sowohl Zähler als auch Nenner Null) verwirrt

verwirrt

Das mit den Zerlegungsmaßen ist mir dann wieder klar.

Was meinst du mit ( $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ selbst ist nicht notwendig eindeutig?
$\begin{eqnarray*} N = (-\infty,1)\cup \{3\} \end{eqnarray*}$ ist doch eindeutig?

Wie bist du dann auf $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ gekommen? Könnten die z.B. auch so aussehen:

$\begin{eqnarray*} G_1(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\, x < 1 \\ x^2 & \;\mbox{für}\, 1\leq x < 3 \\ 10 &\;\mbox{für}\, x\geq 3\end{cases} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} G_2(x) = \begin{cases} x & \;\mbox{für}\, x < 1 \\ 0 & \;\mbox{für}\, 1\leq x < 3 \\ 0 & \;\mbox{für}\, x \geq 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

Und zum Schluss wieder das Problem mit der Dichte $\begin{eqnarray*} f = \frac{\dd \mu_{G_1}}{\dd \mu_F} \end{eqnarray*}$ , wieso man diese so berechnet und wozu man diese hier benötigt.

P.S.: Ich mag den Smiley unglücklich

unglücklich

^^

26.09.2013, 14:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Studentu
Bis zu $\begin{eqnarray*} \eta:=\mu_{F+G}=\mu_F+\mu_G \end{eqnarray*}$ ist mir sonst alles klar. Nur darauf, dass man die beiden Verteilungsfunktionen zusammenzählen muss, wäre ich nicht gekommen. Ist das bei solchen Beispielen immer so?

Du bestimmst dann die Dichte $\begin{eqnarray*} \pi(x) = \frac{F'(x)}{F'(x)+G'(x)} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ .

Das ganze Verfahren mit dem Summenmaß dient nur dazu, einen sicheren Weg zur Findung der Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zu finden (ähnlich wie hier in der Wikipedia beschrieben). Da schon von Haus aus wegen $\begin{eqnarray*} \mu_F \ll \mu_{F+G} \end{eqnarray*}$ klar ist, dass diese Dichte $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ existieren muss (übrigens sogar mit Werten $\begin{eqnarray*} 0\leq \pi(x)\leq 1 \end{eqnarray*}$ ), ist dies ein geeigneter Weg.

Man kann $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ natürlich auch anders ermitteln, etwa so: $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ enthält alle (offenen) Intervalle, auf denen $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stagniert und (!) alle Unstetigkeitsstellen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , die zugleich keine Unstetigkeitsstellen von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sind - auf diese Weise kommt man hier ebenfalls auf $\begin{eqnarray*} N = (-\infty,1)\cup \{3\} \end{eqnarray*}$ .

Das ist eine praktikable Lösung für alle Verteilungsfunktionen, die sich als Summe eines absolutstetigen Anteils sowie einer Treppenfunktion zusammensetzen - das trifft sowohl auf $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ hier zu. Schwierig wird es dann, wenn es einen dritten Anteil gibt, der zwar stetig, aber nicht absolutstetig ist - siehe Cantor-Funktion. Aber glücklicherweise müssen wir uns hier bei diesem Beispiel nicht damit rumschlagen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Der Mengenanteil $\begin{eqnarray*} \{3\} \end{eqnarray*}$ darf nicht bei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ fehlen! Ansonsten kriegst du $\begin{eqnarray*} \mu_{G_1}(\{3\}) > 0 = \mu_F(\{3\}) \end{eqnarray*}$ , was dem angestrebten $\begin{eqnarray*} \mu_{G_1} \ll \mu_F \end{eqnarray*}$ widerspricht. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Studentu
Du bestimmst dann die Dichte $\begin{eqnarray*} \pi(x) = \frac{F'(x)}{F'(x)+G'(x)} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ . Dichte wird in meinen Unterlagen leider völlig vernachlässigt, nur die Radon-Nikodym-Dichte wird erwähnt.

Machen wir es mal allgemein: Es sei $\begin{eqnarray*} \mu_F \ll \mu_H \end{eqnarray*}$ , hier in der Aufgabe als Beispiel mit $\begin{eqnarray*} H=F+G \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet ja für die Radon-Nikodym-Dichte $\begin{eqnarray*} \pi = \frac{\dd \mu_F}{\dd \mu_H} \end{eqnarray*}$ , dass für alle Borelmessbaren Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \mu_F(A) = \int\limits_A \pi(x) ~ \dd\mu_H(x) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

gelten muss. Jetzt betrachten wir Spezialfälle:

(1) $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} H'(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für genügend kleines $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x_0+\varepsilon)-F(x_0-\varepsilon) = \mu_F((x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]) = \int\limits_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} \pi(x) H'(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Nach Mittelwertsatz der Integralrechnung finden wir nun ein $\begin{eqnarray*} \xi\in (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ , so dass die rechte Seite dem Wert $\begin{eqnarray*} 2\varepsilon \pi(\xi) H'(\xi) \end{eqnarray*}$ entspricht, also

$\begin{eqnarray*} \frac{F(x_0+\varepsilon)-F(x_0-\varepsilon)}{2\varepsilon} = \pi(\xi) H'(\xi) \end{eqnarray*}$ .

Durch Grenzübergang $\begin{eqnarray*} \varepsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ kriegen wir raus, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auch an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und zudem (bei angestrebt stetigen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) dann

$\begin{eqnarray*} F'(x_0) = \pi(x_0) H'(x_0) \end{eqnarray*}$

gelten muss, also $\begin{eqnarray*} \pi(x_0) = \frac{F'(x_0)}{H'(x_0)} \end{eqnarray*}$ .

(2) $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ besitze bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine Sprungstelle, d.h. für die voraussetzungsgemäß rechtsstetige und monoton wachsende Funktion $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ gilt an dieser Stelle $\begin{eqnarray*} H(x_0) > H(x_0-0) \end{eqnarray*}$ . Dann nutzen wir wieder (*), diesmal aber nur für die Einpunktmenge $\begin{eqnarray*} A=\{x_0\} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \mu_F(\{x_0\}) = \int\limits_{\{x_0\}} \pi(x) ~ \dd\mu_H(x) = \pi(x_0) \mu_H(\{x_0\}) \end{eqnarray*}$ ,

damit sind wir direkt bei

$\begin{eqnarray*} F(x_0)-F(x_0-0) = \pi(x_0) (H(x_0)-H(x_0-0)) \end{eqnarray*}$

und dem von mir oben angegebenen

$\begin{eqnarray*} \pi(x_0) = \frac{F(x_0)-F(x_0-0)}{H(x_0)-H(x_0-0)} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Studentu
Ich dachte, die Dichte von F wäre einfach F'

Das trifft nur zu, wenn unser $\begin{eqnarray*} \mu_H \end{eqnarray*}$ hier das Lebesgue-Maß selbst ist. Und wenn du Punkt (1) mit dann $\begin{eqnarray*} H(x)=x \end{eqnarray*}$ betrachtest, kommt ja dann auch $\begin{eqnarray*} \pi(x)=F'(x) \end{eqnarray*}$ in diesem Spezialfall heraus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du musst den Begriff Dichte in seiner herausragenden Allgemeinheit als Radon-Nikodym-Dichte begreifen, das ist dann deutlich mehr als eine bloße gewöhnliche Ableitung einer Verteilungsfunktion.

Zitat:

Original von Studentu
Wie bist du dann auf $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ gekommen? Könnten die z.B. auch so aussehen:

$\begin{eqnarray*} G_1(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\, x < 1 \\ x^2 & \;\mbox{für}\, 1\leq x < 3 \\ 10 &\;\mbox{für}\, x\geq 3\end{cases} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} G_2(x) = \begin{cases} x & \;\mbox{für}\, x < 1 \\ 0 & \;\mbox{für}\, 1\leq x < 3 \\ 0 & \;\mbox{für}\, x \geq 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

Dir ist schon bewusst, dass die Verteilungsfunktion eines Maßes monoton wachsend sein muss? Wie sieht es da mit deinem $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ in der Umgebung der Stelle x=1 aus? unglücklich

unglücklich

Und ein weiterer böser Schnitzer: Absolutstetigkeit $\begin{eqnarray*} \mu_{G_1}\ll \mu_F \end{eqnarray*}$ hat insbesondere zur Folge, dass $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ notwendig an allen Stellen stetig sein muss, an denen $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stetig ist! Das ist bei dir an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt. unglücklich

unglücklich

Kurzum: Diese Zerlegung ist völlig daneben.

26.09.2013, 16:00

Studentu

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Okay, danke, also die Dichte ist mir jetzt - zumindest sofern für dieses Beispiel benötigt - klar, die Erklärung war echt gut Tanzen

Tanzen

"Man kann $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ natürlich auch anders ermitteln, etwa so: $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ enthält alle (offenen) Intervalle, auf denen $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stagniert und (!) alle Unstetigkeitsstellen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , die zugleich keine Unstetigkeitsstellen von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sind - auf diese Weise kommt man hier ebenfalls auf $\begin{eqnarray*} N = (-\infty,1)\cup \{3\} \end{eqnarray*}$ "
Das ist cool, in Fällen, wo man das anwenden kann, spart man sich viel Zeit Big Laugh

Big Laugh

Also ich komm jetzt so weit, dass ich mir selbstständig die Dichte $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ und daraus dann N und R\N ausrechnen und die Darstellung
$\begin{eqnarray*} \mu_{G_1}(A) = \mu_G(A\cap (\mathbb{R}\setminus N)) = \mu_G(A\cap ([1,3)\cup (3,\infty))) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu_{G_2}(A) = \mu_G(A\cap N) = \mu_G(A\cap ((-\infty,1)\cup \{3\})) \end{eqnarray*}$
bestimmen kann.
Dass meine Verteilungsfunktionen G1 und G2 Blödsinn sind, sehe ich jetzt unglücklich

unglücklich

Aber wie kann ich die denn nun bestimmen? Setzt man an $\begin{eqnarray*} \mu_F(B) \end{eqnarray*}$ = 0 und kehrt das um, bis man das Intervall/die Intervalle B bestimmt hat und schließt daraus, wo G1=0 sein muss? (vmtl. nicht).
Mich irritiert das, dass dein G1(x) nirgends = 0 ist.
Wie bist du vorgegangen?

P.S.: Wie gesagt, bis hierhin ist mir - denke ich - bei diesem Beispiel jetzt alles klar, danke (=, nur der letzte entscheidende Teil fehlt mir noch unglücklich

unglücklich

26.09.2013, 16:11

HAL 9000

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Also gut, mal salopp formuliert eine Vorgehensweise, die für so gut wie alle $\begin{eqnarray*} F,G \end{eqnarray*}$ klappen müsste, die sich als Summe von absolutstetigen (stückweise differenzierbaren) + diskreten (Sprung-)Anteilen zusammensetzen:

a) Alle Sprungstellen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , die keine Sprungstellen von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sind, verschiebt man in $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ dort stetig sein muss. Gemeinsame Sprungstellen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ (die es hier im Beispiel aber nicht gibt) landen demnach in $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ ist dort stetig.

b) Auf allen offenen Intervallen, wo $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stagniert, muss dies auch $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ tun, d.h. eventuelles Wachstum von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ wird in den Anteil $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ verlagert.

c) Auf sämtlichen Intervallen, wo $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ wächst, muss $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ stagnieren.

---------------------------

Ausführlich angewandt auf unsere F,G hier:

Betrachten wir das hier von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ kommend: Da ist $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ zunächst konstant, laut b) muss dies dann auch $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ sein. Legen wir also $\begin{eqnarray*} G_1(x)=0 \end{eqnarray*}$ fest für alle $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ , entsprechend ist dort $\begin{eqnarray*} G_2(x) = G(x)-G_1(x) = x \end{eqnarray*}$ .

Stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ist Sprungstelle von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , was aber (bis auf den Dichtewert) nicht weiter interessiert. Eine evtl. Sprungstelle von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ an dieser Stelle würde man in $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ verlagern, gibt es hier aber nicht, d.h. $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ haben hier beide stetigen Anschluss mit $\begin{eqnarray*} G_1(1)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_2(1)=1 \end{eqnarray*}$ .

Für das Intervall $\begin{eqnarray*} (1,3) \end{eqnarray*}$ kommt c) zum Tragen, es ist dann also $\begin{eqnarray*} G_2(x)=1 \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall und demzufolge $\begin{eqnarray*} G_1(x)=G(x)-G_2(x)=x^2-1 \end{eqnarray*}$ . (Die Sprungstelle von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ , die in dieses Intervall fällt, hat wiederum höchstens Auswirkung auf den Dichtewert.)

Nun sind wir am Punkt $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ angelangt: Sprungstelle von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , aber keine von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ . Gemäß a) gelangt dieser Sprung der Höhe $\begin{eqnarray*} G(3)-G(3-0) = 1 \end{eqnarray*}$ vollständig in $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ , d.h. es ist dann $\begin{eqnarray*} G_2(3) = G_2(3-0)+1 = 2 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ muss im weiteren Verlauf $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ wegen c) dann stagnieren, also ist $\begin{eqnarray*} G_2(x)=2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 3 \end{eqnarray*}$ , es gilt dann für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ entsprechend $\begin{eqnarray*} G_1(x)=G(x)-G_2(x) = 8 \end{eqnarray*}$ .

Summa summarum:

$\begin{eqnarray*} G_1(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\, x < 1 \\ x^2-1 & \;\mbox{für}\, 1\leq x < 3 \\ 8 &\;\mbox{für}\, x\geq 3\end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_2(x) = \begin{cases} x & \;\mbox{für}\, x < 1 \\ 1 & \;\mbox{für}\, 1\leq x < 3 \\ 2 & \;\mbox{für}\, x \geq 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Wie man sieht, habe ich leicht andere $\begin{eqnarray*} G_1,G_2 \end{eqnarray*}$ rausbekommen als die oben von mir schon mal angegebenen. Aber eine fixe Konstante $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ addiert und von $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ subtrahiert ändert ja nichts an den daraus gebastelten Maßen $\begin{eqnarray*} \mu_{G_1}((a,b]):=G_1(b)-G_1(a) \end{eqnarray*}$ usw. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.09.2013, 17:30

Studentu

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Danke Hal 9000, das ist gut anwendbar mit den Regeln a-c.
Ich hab auch gleich noch ein zweites solches Beispiel gerechnet, die Angabe hat gelautet:
F(x) = 0 für x<0, x+1 für 0<=x<1, 2x^2 für 1<=x<2, 5 für x>=2
G(x)=x für x<0, 0 für 0<=x<1, x+2 für x>=1

Mit der "sicheren" Rechenvariante hab ich herausbekommen:
N=(- $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ,0) $\begin{eqnarray*} \Cup \end{eqnarray*}$ {1} $\begin{eqnarray*} \Cup \end{eqnarray*}$ (2, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ )
Dann hab ich die Probe mit der Kurzvariante gemacht und ich glaube, es müsste stimmen.

Anschließend hab ich nach den Regeln a-c G1 und G2 bestimmt, mein Ergebnis:
G1(x) = 0, x<=1
x-1, 1<x<=2
1, x>2

G2(x) = x, x<=0
0, 0<x<1
3, 1<=x<=2
x+1, x>2

Hab ich das richtig?

Was mich verwundert hat, ist, dass F(x) im Bereich von x=2 nicht monoton wachsend ist. Heißt das, eigentlich ist das gar keine Verteilungsfunktion und die haben schon wieder die Angabe falsch?
Aber die Rechnung stimmt, oder?

26.09.2013, 18:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Studentu
Was mich verwundert hat, ist, dass F(x) im Bereich von x=2 nicht monoton wachsend ist. Heißt das, eigentlich ist das gar keine Verteilungsfunktion

Es kann zumindest nicht die Verteilungsfunktion eines Maßes sein, sondern allenfalls die eines signierten Maßes! Ist es denkbar, dass es hier darum geht? verwirrt

verwirrt

EDIT: Die Anwendung des Zerlegungssatzes von Lebesgue auf signierte Maße ist mir allerdings unbekannt und m.E. auch nicht ohne weiteres möglich. unglücklich

unglücklich

26.09.2013, 19:34

Studentu

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Die Angabe war genau die gleiche wie beim anderen Beispiel, also es wird nicht spezifiziert, um welches Maß es sich handelt.
Aber abgesehen von dieser Unstimmigkeit; passt meine Lösung?

26.09.2013, 19:45

HAL 9000

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Es ist eine gewaltige Unstimmigkeit: Absolutstetigkeit $\begin{eqnarray*} \mu \ll \nu \end{eqnarray*}$ ist für allgemeine signierte Maße $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ nicht definiert. Denkbar wäre es vielleicht via $\begin{eqnarray*} |\mu| \ll |\nu| \end{eqnarray*}$ , aber das ist mir so nicht bekannt. verwirrt

verwirrt

26.09.2013, 20:09

Studentu

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Ja es gibt leider recht oft Fehler in den Angaben. unglücklich

unglücklich

Ich hab die Angabe für F(x) jetzt einfach geändert zu F(x) = x^2+1 für 1<=x<2.
Nun geht sich das mit der Monotonie aus.

Auch meine vorherigen Rechnungen habe ich nach dieser neuen Angabe abgeändert, aber im Endeffekt, also für N, G1 und G2, habe ich dasselbe herausbekommen. Stimmt mein Ergebnis?

26.09.2013, 22:37

HAL 9000

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Ja, in dem Fall sollte das hier

Zitat:

Original von Studentu
G1(x) = 0, x<=1
x-1, 1<x<=2
1, x>2

G2(x) = x, x<=0
0, 0<x<1
3, 1<=x<=2
x+1, x>2

stimmen.

27.09.2013, 13:37

Studentu

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Super, dann hab ich solche Aufgaben verstanden. =D
Danke, Hal 9000! smile

smile

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