Einheitskugel Definitionsbereich

24.09.2013, 17:53

Krumpi

Einheitskugel Definitionsbereich

Meine Frage:
Hi,

ich bin etwas verunsichert mit der Aufgabe hier: Der Körper soll der Einheitsball sein und das Volumen von K soll berechnet werden.
$\begin{eqnarray*} <br /> K = \left\{ (x,y,z) \in B^3: |z|\leq 1/2\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Frage: Wo ist jetzt hier der Unterschied zur Berechnung des normalen Einheitskugelvolumens? Der Definitionsbereich von z irritiert mich. Muss ich da irgendwas anderes machen, als in Kugelkoordination transformieren und integrieren?

Meine Ideen:
Ich hätte Kugelkoordinaten eingeführt, dann integriert:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^{2\pi} {\int_0^\pi} \! r^2 \sin(\theta) \, dr d\varphi d\theta <br /> \end{eqnarray*}$

LaTeX-End-Tags korrigiert. Steffen

24.09.2013, 18:04

Che Netzer

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RE: Einheitskugel Definitionsbereich

Zitat:

Original von Krumpi
ich bin etwas verunsichert mit der Aufgabe hier: Der Körper soll der Einheitsball sein und das Volumen von K soll berechnet werden.
$\begin{eqnarray*} <br /> K = \left\{ (x,y,z) \in B^3: |z|\leq 1/2\right\} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht der Einheitsball. Das ist überhaupt keine Kugel...
Soll $\begin{eqnarray*} B^3 \end{eqnarray*}$ der Einheitsball sein? Hast du auch eine Vorstellung davon, wie $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ aussieht?

Zitat:

Der Definitionsbereich von z irritiert mich.

Funktionen haben einen Definitionsbereich – nicht so Variablen wie $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ich hätte Kugelkoordinaten eingeführt, dann integriert:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^{2\pi} {\int_0^\pi} \! r^2 \sin(\theta) \, dr d\varphi d\theta <br /> \end{eqnarray*}$

Auch wenn du das Volumen der Einheistkugel berechnen solltest, wären hier die Integrationsgrenzen falsch.

24.09.2013, 18:32

Krumpi

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RE: Einheitskugel Definitionsbereich

Zitat:

Also wenn K auf dem Einheitsball ist, dann schneidet z im Prinzip die Polkappen beim Betrag 1/2 ab, oder?

[/quote]
Auch wenn du das Volumen der Einheistkugel berechnen solltest, wären hier die Integrationsgrenzen falsch.[/quote]

Meinst du die von theta?

24.09.2013, 18:36

Che Netzer

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RE: Einheitskugel Definitionsbereich

Zitat:

Original von Krumpi
Also wenn K auf dem Einheitsball ist, dann schneidet z im Prinzip die Polkappen beim Betrag 1/2 ab, oder?

Naja, das klingt, als könntest du es dir vorstellen.
Nun könntest du das Volumen dieser abgeschnittenen Teile berechnen und es vom Kugelvolumen abziehen.
Wenn ihr aber die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises benutzen dürft, würde ich direkt den Satz von Fubini verwenden:
$\begin{eqnarray*} \int_K\dd(x,y,z)=\int_{[-\frac12,\frac12]}\int_{B_z(0)}\dd(x,y)\dd z\,, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} B_z(0)\subset\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ die (von mir aus abgeschlossene) Kreisscheibe um Null mit Radius $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Meinst du die von theta?

Und die von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

25.09.2013, 19:45

Krumpi

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RE: Einheitskugel Definitionsbereich

Zitat:

Nun könntest du das Volumen dieser abgeschnittenen Teile berechnen und es vom Kugelvolumen abziehen.
Wenn ihr aber die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises benutzen dürft, würde ich direkt den Satz von Fubini verwenden:
$\begin{eqnarray*} \int_K\dd(x,y,z)=\int_{[-\frac12,\frac12]}\int_{B_z(0)}\dd(x,y)\dd z\,, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} B_z(0)\subset\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ die (von mir aus abgeschlossene) Kreisscheibe um Null mit Radius $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist.

Irgendwie läuft das immer noch schief:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1/2}^{1/2} \int_{-\sqrt{1-R^2}}^{\sqrt{1-R^2}} \! \pi r^2 \,rdrdz \end{eqnarray*}$

25.09.2013, 19:49

Che Netzer

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RE: Einheitskugel Definitionsbereich
Das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{B_z(0)}\dd(x,y) \end{eqnarray*}$ ist einfach die Fläche des Kreises mit Radius $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .
Wobei mir aber auffällt, dass es eigentlich
$\begin{eqnarray*} \int_K\dd(x,y,z)=\int_{[-\frac12,\frac12]}\int_{B_{\color{red}\sqrt{1-z^2}}(0)}\dd(x,y)\dd z \end{eqnarray*}$
heißen sollte.
Naja, welchen Flächeninhalt hat denn $\begin{eqnarray*} B_{\sqrt{1-z^2}}(0) \end{eqnarray*}$ ?

25.09.2013, 20:05

Krumpi

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RE: Einheitskugel Definitionsbereich

Zitat:

Naja, welchen Flächeninhalt hat denn $\begin{eqnarray*} B_{\sqrt{1-z^2}}(0) \end{eqnarray*}$ ?

Das sollte dann wie beim Kreis mit Fläche $\begin{eqnarray*} \pi r^2 \end{eqnarray*}$ hier also $\begin{eqnarray*} \pi(1-z^2) \end{eqnarray*}$ sein...?

25.09.2013, 20:07

Che Netzer

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RE: Einheitskugel Definitionsbereich
Ja, genau. (ist allerdings nicht nur wie beim Kreis, es handelt sich tatsächlich um eine Kreisfläche.
Du hast also
$\begin{eqnarray*} \int_K\dd(x,y,z)=\int_{[-\frac12,\frac12]}\pi(1-z^2)\dd z\,. \end{eqnarray*}$
Den Rest schaffst du sicher selbst.
Wenn du möchtest kannst du noch kurz das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[-\frac12,\frac12\right] \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ ersetzen, um zu sehen, ob dann auch wirklich das Volumen der Einheitskugel herauskommt.

Hast du auch verstanden, wie ich den Satz von Fubini benutzt habe?

25.09.2013, 21:05

Krumpi

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RE: Einheitskugel Definitionsbereich
Jetzt hab ich $\begin{eqnarray*} 11/12 \pi \end{eqnarray*}$ . Mit den ersetzten Grenzen von $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ kommt dann auch das Volumen der Einheitskugel raus smile

Zitat:

Hast du auch verstanden, wie ich den Satz von Fubini benutzt habe?

Also, Fubini sagt ja was über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge aus. Wo hast du denn die Integrationsreihenfolge für x und y vertauscht? Indem zuerst über die Kreisfläche und dann über den z-Abschnitt integriert wird (und x und y letztendlich in der Kreisscheibe mit drin sind)?

Noch was, wenn ich nur die Polkappen berechnen wollte, könnte ich ja jetzt einfach die berechnete Scheibe vom Gesamtvolumen abziehen, richtig?

25.09.2013, 21:36

Che Netzer

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RE: Einheitskugel Definitionsbereich

Zitat:

Original von Krumpi
Jetzt hab ich $\begin{eqnarray*} 11/12 \pi \end{eqnarray*}$ .

Das brauche ich wohl nicht zu überprüfen.

Zitat:

Also, Fubini sagt ja was über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge aus.

Hm, vielleicht bezeichnest du das, was ich meine, lieber als eine Darstellung des Produktmaßes.
Wie in der Formel mit Integralen auf diesem Wikipedia-Eintrag.

Zitat:

Noch was, wenn ich nur die Polkappen berechnen wollte, könnte ich ja jetzt einfach die berechnete Scheibe vom Gesamtvolumen abziehen, richtig?

Ja. (besser: "das Volumen der Polkappen" und "das berechnete Volumen der Scheibe", wobei Scheibe wohl auch nicht ganz passend ist))

26.09.2013, 14:37

Krumpi

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RE: Einheitskugel Definitionsbereich
Super, vielen vielen Dank erstmal insbesondere auch für deine Fragen smile

Zitat:

Hm, vielleicht bezeichnest du das, was ich meine, lieber als eine Darstellung des Produktmaßes.

Die Produktmaß-Erklärung ist recht abstrakt, vor allem weil bei der Kreisfläche noch die Transformation mit dazukommt. Ich hab versucht meinen Gedanken in ne Formel zu packen (die wahrscheinlich mathematisch mal wieder Haare zu Berge stehen lässt...).

$\begin{eqnarray*} Vol (K)= \int_K d(x,y,z)= \int_{[0,2\pi]\times [0,R]} \int_{[0,Z]}\ r\, d(r,\varphi) dz = \int_{[0,Z]} \pi R^2 dz \end{eqnarray*}$

26.09.2013, 14:39

Che Netzer

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Jetzt hast du wieder die Grenzen vertauscht. Und der Radius der Kreise hängt von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ab. Eigentlich dachte ich aber, dass du die Flächeninhaltsformel für Kreise einfach voraussetzen könntest.

26.09.2013, 14:53

Krumpi

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Zitat:

Original von Che Netzer
Jetzt hast du wieder die Grenzen vertauscht. Und der Radius der Kreise hängt von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ab. Eigentlich dachte ich aber, dass du die Flächeninhaltsformel für Kreise einfach voraussetzen könntest.

Es ging mir nur noch drum, zu verstehen, was du mit Fubini bzw. dem Produktmaß meintest. Du hast schon Recht, die Flächeninhaltsformel darf vorausgesetzt werden.

26.09.2013, 15:00

Che Netzer

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Dann betrachte mal $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ und setze
$\begin{eqnarray*} K_z:=\Bigl\{(x,y)\in\mathbb R^2<img src="images2/smilies/frown2.gif" border="0" alt="unglücklich" title="unglücklich" /> x,y,z)\in K\Bigr\} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Dann ist
$\begin{eqnarray*} \int_K\dd\lambda^3=\int_K\dd(\lambda^2\otimes\lambda)=\int_{\mathbb R}\lambda^2(K_z)\dd\lambda(z)\,. \end{eqnarray*}$
Das ist die Darstellung des Produktmaßes.
Da $\begin{eqnarray*} K_z \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} -\frac12\leq z\leq\frac12 \end{eqnarray*}$ nichtleer ist, ist das Integral außerdem gleich
$\begin{eqnarray*} \int_{-\frac12}^{\frac12}\lambda^2(K_z)\dd\lambda(z)\,. \end{eqnarray*}$
Dann stellt man noch $\begin{eqnarray*} K_z=B_{\sqrt{1-z^2}}(0) \end{eqnarray*}$ fest.

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