Eigenwerte

25.09.2013, 20:30

Hammala

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Eigenwerte

Meine Frage:
Hallo ich hätte da ein Problem: ich verstehe folgenden Beweisteil nicht:

.... $\begin{eqnarray*} \lambda id - A \end{eqnarray*}$ ist nicht invertierbar, wieso gilt nun für alle Homomorphismen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} <\lambda id - A, \phi>=0 \end{eqnarray*}$ und warum bedeutet das, dass dann auch gilt $\begin{eqnarray*} \lambda = <A, \phi> \end{eqnarray*}$ ?
PS: $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist im Spektrum

Meine Ideen:
?

25.09.2013, 21:43

Che Netzer

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RE: Eigenwerte
Worum geht es überhaupt? Was ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ? Eine Matrix? Ein stetiger linearer Operator? Von welchen Homomorphismen ist die Rede (von wo nach wo bilden die ab)?
Und was bedeuten die spitzen Klammern? [das wird hoffentlich mit der letzten Frage klar] Soll das eine Art duale Paarung sein? Der Prädualraum von $\begin{eqnarray*} L(X,Y) \end{eqnarray*}$ für reflexives $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls das projektive Tensorprodukt $\begin{eqnarray*} X\hat\otimes_\pi Y^* \end{eqnarray*}$ bzw. der Raum $\begin{eqnarray*} N(X,Y) \end{eqnarray*}$ der Spurklasse- bzw. nuklearen Operatoren.

26.09.2013, 10:25

Hammala

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RE: Eigenwerte
A ist ein Element einer Banachalgebra und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist ein homom. von der Banachalgebra nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$
die spitzenklammer bedeuten skalarprodukt
das ist ein Teil eines Beweises, der ganze beweis würde zu lange sein, daher nur ein abschnitt, und kann jemand helfen?

26.09.2013, 10:56

Che Netzer

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RE: Eigenwerte

Zitat:

Original von Hammala
die spitzenklammer bedeuten skalarprodukt

Wie ist das Skalarprodukt denn definiert? Falls es die Anwendung des Homomorphismus auf das Element der Banach-Algebra sein soll, würde ich $\begin{eqnarray*} \phi(\lambda\operatorname{id}-A) \end{eqnarray*}$ schreiben.
Für $\begin{eqnarray*} \phi=0 \end{eqnarray*}$ sollte die letzte Folgerung aber sowieso falsch sein.
Soll vielleicht $\begin{eqnarray*} \phi\neq0 \end{eqnarray*}$ sein und wird auch die Kommutativität der Banach-Algebra gefordert?

26.09.2013, 11:48

Hammala

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RE: Eigenwerte
genau, diese beiden Forderungen sind erfüllt. ich weiß die Def. vom Skalarprodukt nicht, aber ich glaub du hast recht, es ist Anwendung des Homomorphismus auf das Element der Banach-Algebra,
wieso gilt dann $\begin{eqnarray*} <\lambda I - A, \phi>=\phi(\lambda I - A) \end{eqnarray*}$
und wieso schreibt er, dass wir aus der Nicht-Invertierbarkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda I - A \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} <\lambda I - A, \phi>=0, \;d.h.\; \lambda=<A,\phi> \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ in Banachalgebra folgern können?

26.09.2013, 12:17

Che Netzer

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RE: Eigenwerte

Zitat:

Original von Hammala
wieso gilt dann $\begin{eqnarray*} <\lambda I - A, \phi>=\phi(\lambda I - A) \end{eqnarray*}$

Wenn das "Skalarprodukt" die Anwendung des Homomorphismus auf das Element sein soll, ist das direkt die Definition.

Zitat:

und wieso schreibt er, dass wir aus der Nicht-Invertierbarkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda I - A \end{eqnarray*}$ sofort [latex]<\lambda I - A, \phi>=0,

Dazu würde ich gerne etwas mehr Kontext sehen. Steht das in irgendeinem Buch oder online?

Es gibt ja die Aussage, dass das Spektrum von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (in einer kommutativen Banach-Algebra mit Eins) gerade die Menge aller $\begin{eqnarray*} \phi(A) \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} \phi\neq0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Homomorphismus (also aus dem Gelfand-Raum) ist.
Der zitierten Aussage würde ich also zustimmen, falls $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ genau einen Spektralwert hat. Was ja auch notwendig wäre, falls $\begin{eqnarray*} \lambda=\langle A,\phi\rangle \end{eqnarray*}$ für alle Homomorphismen $\begin{eqnarray*} \phi\neq0 \end{eqnarray*}$ gelten soll, sobald $\begin{eqnarray*} \lambda\in\sigma(A) \end{eqnarray*}$ .

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26.09.2013, 12:41

Hammala

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RE: Eigenwerte
das steht im pedersen analysis now auf buchseite 137/138, ich habs zwar auf pc, aber die datei ist zu groß zum hochladen

26.09.2013, 12:48

Che Netzer

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RE: Eigenwerte
Ah – da steht aber "for some $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \hat{\mathfrak A} \end{eqnarray*}$ " (oben auf Seite 138). Es soll also nicht für alle gelten. Und vorher wurde gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \lambda I-A \end{eqnarray*}$ in einem maximalen Ideal liegt (da es nicht invertierbar ist). Maximale Ideale sind aber gerade die Kerne von Homomorphismen aus $\begin{eqnarray*} \hat{\mathfrak A} \end{eqnarray*}$ .
Und von $\begin{eqnarray*} \langle\lambda I-A,\gamma\rangle=0 \end{eqnarray*}$ kannst du mit $\begin{eqnarray*} \langle I,\gamma\rangle=1 \end{eqnarray*}$ ganz leicht auf $\begin{eqnarray*} \lambda=\langle A,\gamma\rangle \end{eqnarray*}$ kommen.

26.09.2013, 13:35

Hammala

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RE: Eigenwerte
ah!!! ok danke und dass maximale ideale kerne von homomorphismen sind, haben wir im abschnitt davor gezeigt, aber warum steht da "the quotient map .. belongs to $\begin{eqnarray*} \hat{\mathfrak A} \end{eqnarray*}$ " (wieso ist das ein Homomorphismus, ist das ein Satz?) und
warum ist der kern ein ideal von codimension 1 und daher maximal?
(steht das irgendwo, oder vielleicht ineinem anderen buch?, oder hab ich was übersehen)

26.09.2013, 13:43

Che Netzer

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RE: Eigenwerte

Zitat:

Original von Hammala
aber warum steht da "the quotient map .. belongs to $\begin{eqnarray*} \hat{\mathfrak A} \end{eqnarray*}$ " (wieso ist das ein Homomorphismus, ist das ein Satz?)

Dass diese Abbildung homomorph ist, folgt ja fast direkt aus der Definition. Und dass sie dann auch in $\begin{eqnarray*} \hat{\mathfrak A} \end{eqnarray*}$ liegt, folgt aus der vorigen Feststellung $\begin{eqnarray*} \mathfrak A/\mathfrak I=\mathbb C \end{eqnarray*}$ (und die Quotientenabbildung ist surjektiv, also nicht Null).

Zitat:

warum ist der kern ein ideal von codimension 1 und daher maximal?
(steht das irgendwo, oder vielleicht ineinem anderen buch?, oder hab ich was übersehen)

Kerne von stetigen linearen Funktionalen (ungleich Null) auf einem Banach-Raum haben Kodimension Eins. Sagt dir das in der Form etwas?

Edit: Das Thema hätte ja übrigens auch in der Analysis bleiben können. Mit Eigenwerten hat die Frage auch nichts zu tun.

26.09.2013, 16:35

Hammala

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RE: Eigenwerte
also das sagt mir jetzt nichts!
es hat indirekt mit eigenwerten zu tun, denn ich muss ja, das was du mir sagst, auch verstehen Big Laugh

Big Laugh

aber ich werde meine nächste frage in ein neuen thread stecken
ich würde nur noch gern das mit den kodimensionen wissen...

26.09.2013, 16:43

Che Netzer

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RE: Eigenwerte
Das kannst du ja mal als Übungsaufgabe machen:
Es sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein Banach-Raum und $\begin{eqnarray*} \varphi\in X^* \end{eqnarray*}$ . Ist nun $\begin{eqnarray*} x_0\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(x_0)=1 \end{eqnarray*}$ , so ist
$\begin{eqnarray*} X=\ker\varphi\dotplus\operatorname{span}\{x_0\}\,, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \dotplus \end{eqnarray*}$ die direkte Summe bezeichnet.

Oder auch so:
Es seien $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zwei Banach-Räume und $\begin{eqnarray*} T\in L(X,Y) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \tilde T\colon X/\ker T\to Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tilde T[x]:=Tx \end{eqnarray*}$ injektiv.

Aus beidem folgt die Aussage über die Kodimension. (Edit: also aus jeweils einem von beidem; nicht erst aus beiden Aussagen zusammen)

26.09.2013, 17:08

Hammala

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RE: Eigenwerte
also zum 2.: wohldef. klar, für Injek. muss man die Linearität ausnutzen, nach ... Überlegungen komm ich dann auf x=y und schließ daraus [x]=[y].

und zum 1 bisschen ausführlicher: Wenn ein bel. x aus X nicht im kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ liegt, dann ist ja $\begin{eqnarray*} \varphi(x)=c \neq 0 \end{eqnarray*}$ für ein c aus dem Körper C (weil ja $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ aus dem Dualraum ist), also ist insgesamt
$\begin{eqnarray*} \varphi(x)=c=c\varphi(x_0)=\varphi(cx_0)<=> x=cx_0 \end{eqnarray*}$ , also liegt x im Spann. die rückrichtung ist klar

ich weiß nicht obs stimmt, aber ok
nun weiß ich insb. nicht, warum aus codimension =1 folgt, dass der Kern ein maximales Ideal sein soll

26.09.2013, 17:27

Che Netzer

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RE: Eigenwerte

Zitat:

Original von Hammala
nach ... Überlegungen komm ich dann auf x=y und schließ daraus [x]=[y].

Erstaunt1

Das ist etwas knapp...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \varphi(x)=c=c\varphi(x_0)=\varphi(cx_0<br /> )<=> x=cx_0 \end{eqnarray*}$

Die Äquivalenz ist falsch.
Wie ist denn die direkte Summe definiert? Was ist die zu zeigende Behauptung?

Zitat:

die rückrichtung ist klar

Welche Rückrichtung? verwirrt

verwirrt

Zitat:

nun weiß ich insb. nicht, warum aus codimension =1 folgt, dass der Kern ein maximales Ideal sein soll

Ein echtes Ideal hat mindestens Kodimension Eins. Größer kann es also nicht werden – ein größeres Ideal müsste Kodimension Null haben, womit es der ganze Raum wäre.

26.09.2013, 18:10

Hammala

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super danke

26.09.2013, 18:25

Hammala

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wieso ist eigentlich die Äquivalenz falsch, phi ist doch aus dem Dualraum, also ein Funktional, insb. linear

26.09.2013, 18:31

Che Netzer

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Die Gleichungen links vom Äquivalenzpfeil sind ja auch richtig.
Aber wieso sollte $\begin{eqnarray*} \varphi(x)=\varphi(cx_0) \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x=cx_0 \end{eqnarray*}$ sein? Immerhin ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nicht injektiv.

26.09.2013, 18:50

Hammala

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ok, ich hab mir das nun so überlegt

$\begin{eqnarray*} \varphi(x)=\varphi(cx_0) <=> \varphi(x-cx_0)=0 <=>x-cx_0=0 \end{eqnarray*}$

hmmm

ich muss mal ne neue frage auf machen....

26.09.2013, 18:52

Che Netzer

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Und das gilt nunmal nur für injektives $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

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