Vektorrechnen

26.09.2013, 15:07

ruri14

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Vektorrechnen

Meine Frage:
Hallo,

ich bin gerade erst in die Klasse gekommen und die nehmen schon seit einiger Zeit das Vektorrechnen durch. Ich folge jetzt dem Unterricht, und versuche das zu verstehen, mein Problem ich habe zu dem Thema keine Vorkentnisse. Deswegen habe ich damit so meine Probleme. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Hier die Aufgabe:
Berechne die Maße der Winkel im Dreieck ABC!

(Hier ist ein Dreieck vorgegeben mit den Folgenden Punkten:

C = (5/3)
B = (1/-1)
A = (-3/2)

Wenn ich jetzt den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ausrechnen möchte...

ist doch: $\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{\vec{AB}*\vec{AC} }{| \vec{AB} |*| \vec{AC} | } \end{eqnarray*}$

Dann muss ich ja $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Wie mache ich das?

Meine Ideen:
Meine Idee wäre dazu:

A = (-3/2)
B = (1/-1)

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ = (4/-1) Ist das möglich. Ich verstehe das nicht, nur an einer Beispielaufgabe mit A = (-3/-2) und B = (4/-5) kam raus: $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ = /7/-3)

DAnke für eure Hilfe schonmal im Vorraus!

LG ruri

26.09.2013, 15:22

riwe

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RE: Vektorrechnen
teilweise gut gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 1-(-3)=4\quad{ } -1-2=-3\to\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

26.09.2013, 15:29

ruri14

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Ah, jetzt verstehe ich, ich muss subtrahieren smile

smile

Gut, dann weiter:

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

AC ist dann -3-5=-8 und 2-3=-1 also: $\begin{eqnarray*} \vec{AC} = \begin{pmatrix} -8 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das?

26.09.2013, 17:34

Math1986

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Zitat:

Original von ruri14

AC ist dann -3-5=-8 und 2-3=-1 also: $\begin{eqnarray*} \vec{AC} = \begin{pmatrix} -8 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das?

Andersrum...

Es ist im vorherigen Beispiel
$\begin{eqnarray*} \vec{AB}=B-A=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} \vec{AC} =C-A=... \end{eqnarray*}$
Du hast es andersrum gerechnet, das Ergebnis ist bis auf den Vorfaktor -1 dasselbe (der Richtungsvektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung)

PS: Das Minus ist jeweils komponentenweise zu lesen.

26.09.2013, 17:51

ruri14

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Danke, den letzten Satz verstehe ich jetzt zwar noch nicht so ganz aber egal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also weiter:

5-(-3)=8 und 3-2 =1

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{AC} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das so jetzt richtig?

Dann bräuchte ich das Skalarprodukt oder?
das ist:
4*8+(-3)*1=32+(-3)=29

$\begin{eqnarray*} | \vec{AB} | = \sqrt{4^{2}(-3)^{2} }= \sqrt{16+9}=\sqrt{28} \end{eqnarray*}$

stimmt das so, ich meine, ich hab das ja nie durchgenommen, nur heut im Unterricht halt so ähnlich gehört... Kann halt schlecht folgen. smile

smile

26.09.2013, 18:02

Math1986

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Zitat:

Original von ruri14
$\begin{eqnarray*} \vec{AC} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das so jetzt richtig?

Richtig. Genau dein Ergebnis von oben mit -1 multipliziert.

Zitat:

Original von ruri14
Dann bräuchte ich das Skalarprodukt oder?
das ist:
$\begin{eqnarray*} 4*8+(-3)*1=32+(-3)=29 \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von ruri14
$\begin{eqnarray*} | \vec{AB} | = \sqrt{4^2+(-3)^2}= \sqrt{16+9}=\sqrt{28} \end{eqnarray*}$

Unter der Wurzel ist dir ein Pluszeichen verlorengegangen.

Was ist $\begin{eqnarray*} 16+9 \end{eqnarray*}$ ?

Analog berechnest du das Skalarprodukt des anderen Vektors, und dann den Winkel.

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26.09.2013, 18:22

ruri14

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was meinst du damit? Wo ist mir ein Pluszeichen verlorgengegangen?

Sorry, 16+9 ist natürlich 25 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also gut, dann haben wir

$\begin{eqnarray*} | \vec{AB} | = \sqrt{25} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} | \vec{AC} | = \sqrt{65} \end{eqnarray*}$

gibt dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{29}{\sqrt{25}*\sqrt{65} } \end{eqnarray*}$

so, dann brauche ich noch $\begin{eqnarray*} cos^{-1} \end{eqnarray*}$ oder?
Aber wie rechne ich das jetzt nochmal aus?

26.09.2013, 18:29

Math1986

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Zitat:

Original von ruri14
was meinst du damit? Wo ist mir ein Pluszeichen verlorgengegangen?

In

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4^2(-3)^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ruri14

Also gut, dann haben wir

$\begin{eqnarray*} | \vec{AB} | = \sqrt{25} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} | \vec{AC} | = \sqrt{65} \end{eqnarray*}$

gibt dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{29}{\sqrt{25}*\sqrt{65}} \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von ruri14
so, dann brauche ich noch $\begin{eqnarray*} cos^{-1} \end{eqnarray*}$ oder?
Aber wie rechne ich das jetzt nochmal aus?

Das ist der sogenannte Arcuscosinus. Berechnen kannst du den auch über deinen Taschenrechner.

26.09.2013, 18:38

ruri14

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ah, ja...

smile

nun, ich weiß nicht wie ich Cosinus rechne. muss ich cos= oder cos+ oder cos* ???

LG

26.09.2013, 18:49

Math1986

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Was meinst du?

Wenn du meinst wie du den Arcuscosinus berechnest: Die Taste auf dem Taschenrechner ist üblicherweise mit $\begin{eqnarray*} \arccos \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \cos^{-1} \end{eqnarray*}$ beschriftet.

26.09.2013, 18:53

ruri14

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ja, das weiß ich schon, die Taste ist cos^-1 und dann muss ich also

Cos^-1+ dem ganzen rechnen, oder muss ich Cos^-1 * dem ganzen rechnen, ich hab ja keinen blassen schimmer was Cosinus ist, ausser das es etwas mit Mathematik zu tun hat Forum Kloppe

Forum Kloppe

26.09.2013, 18:57

Math1986

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Arcuscosinus ist eine Funktion, das musst du einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \alpha=\cos^{-1}\left( \frac{29}{\sqrt{25}*\sqrt{65} }\right) \end{eqnarray*}$

Schau dir doch einfach mal auf Wikipedia an was der Cosinus ist.

26.09.2013, 19:03

ruri14

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ah, ok, also multiplizieren... Augenzwinkern

Augenzwinkern

gut:

leider kann mein Taschenrechner keine Brüche, deswegen hab ich es jetzt mit Klammern versucht. Bin mir aber nicht sicher ob das Ergebnis stimmt:

$\begin{eqnarray*} \alpha = 43,99 bzw. 44° \end{eqnarray*}$

stimmt das?

26.09.2013, 20:29

Math1986

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Nein, nicht multiplizieren, sondern einsetzen! Das ist was ganz anderes! Lies dir meinen vorherigen Beitrag nochmal durch.

Und nein, das Ergebnis stimmt nicht.

26.09.2013, 20:39

ruri14

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Ja, jetzt hab ich auch in Wiki gelesen danke smile

smile

Komisch, ich hab Equester gefragt, weil du off warst und er meinte es würde stimmen, er hat das nicht alles durchgeschaut, aber halt die Lösung angeschaut.
HAb dann auch so weitergerechnet und beta und Gamma ausgerechnet. Wenn ich die alle zusammenrechne komme ich auf 180° Und das war ja das Ziel oder?

26.09.2013, 20:55

Math1986

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Ja, stimmt, war mein Fehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.09.2013, 20:59

ruri14

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gut. Dann dir ganz herzlichen Dank für deine Hilfe! Dann werd ich mal versuchen das Gleiche auf die anderen Aufgaben anzuwenden smile

smile

Wenn ich noch fragen habe melde ich mich wieder.

Schönen Abend noch!

LG ruri

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