Lösungen in Q |
| 05.08.2004, 17:14 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lösungen in Q Ich möchte beweisen, dass die diophantische Gleichung a²(a+1) + b²(b+1) - c² - d² = 0 unendlich viele Lösungsquadrupel der Form {a,b,c,d | a,b,c,d € Q, a <> b} hat. Habt ihr hierzu Ideen / Vorschläge? Grüße, Gustav |
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| 05.08.2004, 17:19 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lösungen in Q Hallo Gustav, Ich hab zwar keinen Plan, ob das zum Ziel führt, aber ich würde es mit einem indirekten Beweis versuchen und annehmen, dass es endlich viele gibt. Hast du irgendelche Erkenntnisse wissen über die Lösungen, mit denen du einen Widerspruch produzieren könntest? Gruß vom Ben |
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| 05.08.2004, 17:22 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast Dich getraut zu schreiben was ich mir dachte Ben. Mir kam auch spontan ein Widerspruchsbeweis in den Sinn, ist nämlich die Lösungsmenge endlich dann existiert ein Supremum bzw. ein infimum oder auch beides für die Lösungsmenge. Mit genügend wissen über die gleichung ließe sich da sicher ein Widerspruch produzieren das dieses Infimum/Supremum nicht Infimum/Supremum sein kann. |
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| 05.08.2004, 17:26 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und du dich nich? 
Ich poste auch ab und an, wenn ich keinen kompletten Lösungsweg im Kopf habe. So kann auch eine schöne Gemeinschaftslösung entstehen. Und Gustav hat ganz sicher mehr Infos/Wissen über die Gleichung als ich. Gruß vom Ben |
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| 05.08.2004, 17:39 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, ich bin mir bei so nen Sachen immer nicht sicher. Zum problem: Ich glaube das Supremumprinziep kannst Du leider nicht verwenden, da ich mich grad gefragt hab wann L = {a,b,c,d € Q| a <> b} Ein Supremum besitz und besonders wie es bestimmt ist. Denn es muss ja dann gelten, das heißt dieses Supremum ist natürlich selbst ein Tupel, und ich glaube eine Ordnungsrelation auf Quadrupeln noch extra zu definieren um das Supremumprinziep zu nutzen ist zuviel. Widerpsruchsbeweis ist dennoch ein geeignetes mittel vermute ich. |
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| 05.08.2004, 17:49 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Möglichkeit wäre natürlich, sich das grösste Element von L zu nehmen und daraus ein gösseres zu basteln. Bloss was heißt in diesem Fall "grösser"? Vielleicht die Lösung mit der grössten Norm? |
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| 05.08.2004, 17:55 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wäre dann in etwa meine Idee, da ein Supremum, wenn es zur Menge gehört das größte Element bildet. Kennst Du eine Ordnungsrelation die Sinn macht auf n-Tupeln? Norm könnte schon so in die Richtung gehen. |
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| 05.08.2004, 19:44 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich euch richtig verstehe besteht euer Ansatz darin zu Zeigen, dass es keine größte/kleinste Lösung a' b' c' d' geben kann. Wenn man die Gleichung als Kurve: C: a²(a+1) + b²(b+1) - c² -d² = 0 auffasst könnte man doch bei gegebener rationaler Lösung a* b* c* d* mit Hilfe der Tangentenmethode eine weitere rationale Lösung a*' b*' c*' d*' konstruieren (u.s.w.), oder? Die Schwierigkeit bestünde dann darin eine Lösung a* b* c* d* zu finden. Oder ist das falsch? Grüße, Gustav |
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| 06.08.2004, 00:54 | Shopgirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Gustav, bei diophantischen Gleichungen kann man oft die Lösungen durch einige Parameter beschreiben, d.h. Zahlen, aus denen man direkt Lösungen bestimmen kann. Wenn es dir nur darum geht, nachzuweisen, dass deine Gleichung unendlich viele Lösungen hat, dann genügt es, eine unendliche Menge von Lösungen anzugeben. Ich habe eine solche gefunden, und beschreibe dir nun meinen Weg. Ich betrachtete nur Tupel mit c = d, um die Anzahl der Freiheitsgrade zu reduzieren. Das kann schiefgehen, hier ging es gut. Eine Untersuchung der ganzzahligen Lösungstripel a, b, c mit 1 <= a < b <= 100 liefert eine leichte Häufung des Quotienten a/b = 1/2. Also beschränkte ich mich auf Lösungen mit der Bedingung 2*a = b. So hab ich also praktisch nur noch einen Freiheitsgrad a, da c direkt über die Gleichung berechenbar ist. Ich konnte nun für verschiedene a-Werte prüfen, ob der sich aus der Gleichung ergebende c-Wert ganzzahlig ist. Ordnet man die zulässigen Werte für a der Größe nach a, liegen sie auf zwei Parabeln. Ich habe mich auf eine der beiden beschränkt (liefere dir also nicht einmal alle Lösungen mit der Nebenbedingung 2a=b, c=d). Für jede natürliche Zahl n definiere a = 18 n^2 - 52 n + 37 b = 2 a c = (9 n - 13) a d = c Dann kannst du dir ausrechnen, dass a^2 (a + 1) + b^2 (b + 1) = (9 a + 5) a^2 denselben Wert wie c^2 + d^2 = 2 c^2 = 2 (9 n - 13)^2 a^2 hat. Die Werte für a sind hier 3, 5, 43, 117, 227, 373, 555, ... Alles liebe, Shopgirl |
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| 06.08.2004, 02:06 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
:] Shopgirl
Hast du all das allein gemacht? Mit welchem Vorwissen? Gruß vom Ben |
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| 06.08.2004, 16:08 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Ben, Ich glaube, für das was Shopgirl da getan hat, braucht man kein Vorwissen. Ich vermute aber mal, dass sie es nicht von Hand gemacht hat. Unendlich viele Lösungen anzugeben ist meistens nicht schwer. Schwerer ist die Angabe ALLER Lösungen einer gegebenen diophantischen Gleichung. Eure Idee mit dem Widerspruchsbeweis führt hier vermutlich nicht leicht zum Ziel (wie will man die Tupel ordnen). Im Übrigen beschäftigt sich die Zahlentheorie mit diophantischen Gleichungen. Per Widerpruch beweist man oft, dass eine gegebene Gleichung keine natürlichen Lösungen hat. Dazu nimmt man an, es gäbe eine Lösung, sucht sich eine Variable aus und betrachtet dann eine Lösung, die in dieser Variable minimal ist (nicht maximal). Dann konstruiert man daraus eine Lösung bei der diese Variable kleiner ist und erhält einen Widerspruch. Diese Methode nennt man "unendlichen Abstieg". Fermat hat diese Methode benutzt, um die Unlösbarkeit von x^3 + y^3 = z^3 in den positiven ganzen Zahlen zu beweisen. Liebe Grüsse, Irrlicht |
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| 07.08.2004, 12:35 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da waren wir ja hängengeblieben. Das nur in einer Variablen zu machen, gar nicht so dumm, muss man erstmal drauf kommen. Mit Vorwissen meinte ich eigentlich, inwieweit sich Shopgirl schon vorher mit diophantischen Gleichungen befasst hat. Gruß vom Ben |
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| 07.08.2004, 12:59 | Shopgirl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Ben, in meiner Zahlentheorie-Vorlesung hatten wir diophantische Gleichungen untersucht. Allen voran die Pellsche Gleichung, die so heißt, weil der englische Mathematiker Pell nichts damit zu tun hat. *g* Mit dem unendlichen Abstieg haben wir einige Gleichungen bearbeitet. Auf das Verfahren ist Fermat damals von selbst gekommen, vielleicht als erster. Auch die Menge aller ganzzahligen Lösungen von bestimmten Gleichungen haben wir bestimmt. Bekanntestes Beispiel dafür ist (neben der Pellschen Gleichung *g*) die Gleichung a^2 + b^2 = c^2, wo man zwei Freiheitsgrade hat, und alle Lösungen durch zwei Parameter ausdrücken kann. Gustav, genügt die meine Lösungsschar, oder soll ich dir weitere geben? :-) Ich hab auch einige, bei denen a<b<c<d ist, also alle Zahlen verschieden sind. Alles liebe, Shopgirl |
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| 07.08.2004, 13:08 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Info Shopgirl ;-) Gruß vom Ben, der weiß, dass er ziemlich neugierig ist |
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| 08.08.2004, 19:50 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zunächst mal vielen Dank an euch alle für eure Hilfe, insbesondere an Shopgirl. @Shopgirl: Es wäre super, wenn du mir deine weiteren Lösungsscharen, insbesondere diese mit a<b<c<d mitteilen könntest. :-) Wie hast du denn konkrete Lösungen erstellt? Mit Hilfe eines Programms? Grüße, Gustav |
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