konstante Abbildung messbar

27.09.2013, 15:10

Fluffis

konstante Abbildung messbar

Hallo

Ich habe eine ein bisschen peinliche Frage zur Messbarkeit. Ich überlege schon seit über eine Stunde an einem Beispiel herum.
Das sagt, dass eine konstante Abbildung von R->R (z.b. f(x)=1) messbar ist.

Jetzt muss ich doch zeigen, f^(-1)(A) Element von F1 ist, für alle A Element von F2.

Aber ist das nicht abhängig davon wie ich meine SigmaAlgebra in R definiere?

Oder sei jetzt nun F2={leere Menge, R, (-unendlich,2), [2, unendlich)}
eine Sigmaalgebra. Also das Intervall (-unendlich,2) in F2. Was ist dann das Urbild von diesem Intervall? Das Urbild ist dann doch gar nicht in F1....

Ich weiss, dass es ein bisschen eine dumme Frage ist, aber ich blick da im Moment nicht so durch.

27.09.2013, 15:23

HAL 9000

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Es ist durchaus keine dumme Frage, irgendwann muss man die stellen. Augenzwinkern

Wir betrachten also $\begin{eqnarray*} f(x)=c \end{eqnarray*}$ mit Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Dann ist schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) = \begin{cases} \emptyset &\;\mbox{falls}\, c\not\in A \\ \mathbb{R} &\;\mbox{falls}\, c\in A \end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

und beide mögliche Urbilder sind in jeder denkbaren Sigma-Algebra über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ enthalten, schon auf Basis von deren Definition.

27.09.2013, 15:26

Che Netzer

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RE: konstante Abbildung messbar

Zitat:

Original von Fluffis
Aber ist das nicht abhängig davon wie ich meine SigmaAlgebra in R definiere?

Spricht man von der Messbarkeit einer Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ stattet man den Urbildraum meist mit der Lebesgue-Sigma-Algebra und den Bildraum mit der Borel-Sigma-Algebra aus.
Hier ist das aber tatsächlich egal: Konstante Abbildungen zwischen beliebigen messbaren Räumen sind immer messbar. (analog zur Argumentation bei Hal)

27.09.2013, 15:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Che Netzer
Spricht man von der Messbarkeit einer Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ stattet man den Urbildraum meist mit der Lebesgue-Sigma-Algebra und den Bildraum mit der Borel-Sigma-Algebra aus.

Diese feine Unterscheidung war mir so bisher nicht bewusst bzw. bekannt - ich kenne das mit Borel-Sigma-Algebra auch beim Definitionsbereich. Nun, die meisten dürften ziemlich selten auf Beispiele treffen, wo es auf den Unterschied zwischen beiden Vereinbarungen ankommt. Augenzwinkern

27.09.2013, 15:46

Fluffis

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Ich finde die Umkehrabbildung noch komisch. Weil bei f(x) = c sind x und c Punkte in R und bei der Umkehrabblidung betrachtet man auf einmal f^(-1)(A), wobei A auf einmal Intervalle sind.

Kann man denn sagen, wenn f(x)=c, dann ist f(A) = c, wobei A ein Intervall ist. Da happerts bei mir noch.

27.09.2013, 15:58

HAL 9000

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Anscheinend verwechselst du die Urbildfunktion, um die es hier geht, mit der Umkehrfunktion, um die es hier nicht geht - allein schon deswegen nicht, weil die i.a. gar nicht existiert, insbesondere nicht für konstante $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wie hier!

Da wirst du wohl nicht darum herumkommen, dich mal wirklich mit den hier relevanten Definitionen auseinanderzusetzen, sonst tappst du nur blind herum.

27.09.2013, 16:08

Che Netzer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Diese feine Unterscheidung war mir so bisher nicht bewusst bzw. bekannt - ich kenne das mit Borel-Sigma-Algebra auch beim Definitionsbereich.

Oft benutzt man ja auch (glücklicherweise) die Begriff "Borel-messbar" bzw. "Lebesgue-messbar", um zu kennzeichnen, dass man im Urbildraum die Borel- bzw. Lebesgue-Sigma-Algebra verwendet.
Teilweise sagt man auch, "messbar" heiße "Borel-messbar".
Der Vorteil an der Konvention, im Urbildraum die Lebesgue-Sigma-Algebra zu betrachten, ist die Vollständigkeit des Lebesgue-Maßes.
Wenn man sich einen unvollständigen Maßraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\Sigma,\mu) \end{eqnarray*}$ nimmt und $\begin{eqnarray*} E\subset\Sigma \end{eqnarray*}$ eine nicht messbare Nullmenge ist – d.h. Teilmenge einer Menge $\begin{eqnarray*} N\in\Sigma \end{eqnarray*}$ vom Maß Null –, dann ist die Indikatorfunktion $\begin{eqnarray*} \chi_E\colon\Omega\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ zwar nicht messbar (also nicht $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ -Borel-messbar), aber trotzdem der $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -fast überall punktweise Grenzwert messbarer Funktionen: Die konstante Folge $\begin{eqnarray*} (\chi_N)_n \end{eqnarray*}$ z.B. konvergiert z.B. nur auf der Nullmenge $\begin{eqnarray*} N\setminus E \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} \chi_E \end{eqnarray*}$ . Die konstante Folge $\begin{eqnarray*} (2\chi_N)_n \end{eqnarray*}$ konvergiert sogar genau auf der (messbaren!) Nullmenge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} \chi_E \end{eqnarray*}$ .

Das Fazit: Auch wenn man $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -fast überall punktweise Konvergenz darüber definiert, dass die Menge, auf der keine Konvergenz vorherrscht, eine messbare Nullmenge ist, gilt folgendes:
Ein Maßraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\Sigma,\mu) \end{eqnarray*}$ ist genau dann vollständig, wenn Messbarkeit (also $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ -Borel-Messbarkeit) von Funktionen $\begin{eqnarray*} \Omega\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -fast überall punktweiser Konvergenz erhalten bleibt. Auch ist das äquivalent dazu, dass Messbarkeit unter beliebigen Änderungen der Funktionswerte auf einer Nullmenge erhalten bleibt. Und das möchte man natürlich beides gerne haben.

Daher die Lebesgue-Messbarkeit im Urbildraum.

Zitat:

Nun, die meisten dürften ziemlich selten auf Beispiele treffen, wo es auf den Unterschied zwischen beiden Vereinbarungen ankommt. Augenzwinkern

Das ist natürlich sehr schön. Bis auf das Beispiel, das ich letzten Oktober hier aufgeschrieben habe, kenne ich auch keine konkrete, greifbare Situation, in denen der Unterschied wichtig ist smile

27.09.2013, 17:59

HAL 9000

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Ja, im Urbildraum ist das mit der Lebesgue-Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathbb{L} \end{eqnarray*}$ OK, es erweitert die Menge der als "messbar" bezeichneten Funktionen gegenüber der mir bisher bekannten Konvention.

Problematisch wäre es, auch im Bildraum bei "messbar" $\begin{eqnarray*} \mathbb{L} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathbb{B} \end{eqnarray*}$ zu haben, da ja viele Messbarkeits-Beweise über einfache Erzeugendensysteme laufen (bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{B} \end{eqnarray*}$ etwa die halboffenen Intervalle $\begin{eqnarray*} (-\infty,x] \end{eqnarray*}$ ), und das wäre dann bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{L} \end{eqnarray*}$ nicht mehr so einfach. Big Laugh

Da fällt mir dann doch noch was ein: Gibt es mit der Definition nicht Probleme bei der Verkettung solcherart messbarer Funktionen? verwirrt

@Fluffis

Entschuldige die kleine Privatunterhaltung zwischen Che und mir (die musst du dir nicht unbedingt reinziehen) - dein Anliegen ist nicht vergessen. Aber zunächst mal bist du ja am Ball. Augenzwinkern

27.09.2013, 18:43

Che Netzer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Da fällt mir dann doch noch was ein: Gibt es mit der Definition nicht Probleme bei der Verkettung solcherart messbarer Funktionen? verwirrt

Schon, die muss nicht mehr messbar sein, aber Verkettungen sind in diesem Zusammenhang eher selten, die betrachtet man am liebsten für Borel-(Borel-)messbare Funktionen.
Durch die unterschiedlichen Sigma-Algebren haben Bild und Urbild eine gewisse "Andersartigkeit".
Wenn du $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n=:M \end{eqnarray*}$ als Mannigfaltigkeit betrachtest, dann ist für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb R^n=M \end{eqnarray*}$ der Tangentialraum $\begin{eqnarray*} T_p\mathbb R^n=T_pM \end{eqnarray*}$ eigentlich wieder $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und wird oft auch damit identifiziert. Trotzdem sind die Elemente der Räume nicht zu vergleichen und man sieht selten, dass ein Vektor/Punkt aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n=M \end{eqnarray*}$ und ein Tangentialvektor aus $\begin{eqnarray*} T_pM \end{eqnarray*}$ addiert wurden. Das wird einem sogar schon ein wenig in der Schule angedeutet, wenn man (zumindest begrifflich) zwischen Orts- und Richtungsvektor unterscheidet bzw. zwischen Punkten (in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n=M \end{eqnarray*}$ ) und Vektoren, die ja eigentlich auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ sind.
Etwas deutlicher wird es in der Physik. Differentialgleichungen der Form $\begin{eqnarray*} \dot x=x \end{eqnarray*}$ für reellwertiges $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kann man zwar formal aufstellen (als Gleichheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ), physikalisch sieht man das aber sicher nicht, denn dann würden die Einheiten nicht passen.

Und genauso ist es zwar theoretisch möglich, zwei (Lebesgue-Borel-)messbare Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ miteinander zu verknüpfen, aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bildet in "die Welt der Borel-messbaren Mengen" ab, während $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ Argumente aus "der Welt der Lebesgue-messbaren Mengen" erwartet.
Wenn man also "in der freien Natur" in eine Situation gerät, in der man zwei (Lebesgue-Borel-)messbare Funktionen miteinander verkettet, dann ist es nicht unwahrscheinlich, dass dabei etwas schiefgelaufen ist oder (etwas wahrscheinlicher) dass man auch Borel-messbare Funktionen betrachten könnte.

Ach ja, vielleicht ein Beispiel, das besser zum Thema passt: Nimm dir reellwertige Zufallsvariablen, die auf dem Grundraum $\begin{eqnarray*} \Omega=\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert sind. Hast du jemals gesehen, dass zwei solche Abbildungen (in einer natürlich aufgetretenen Situation) verkettet wurden?

27.09.2013, 19:41

Fluffis

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Ihr könnt eure Unterhaltung weiter fortsetzen.
Ich brauche jetzt sowieso noch ein bisschen Zeit mir das neu zu überlegen und melde mich dann später noch mal.
Tatsächlich habe ich die 2 Begriffe verwechselt, bzw. habe gar nicht gemerkt, dass es zwei unterscheidliche Begriffe sind. Darum hat die Theorie gar nie Sinn gemacht.

27.09.2013, 20:31

Fluffis

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Ok ich verstehe das mit der konstanten Abbildung.
Betrachtet man jetzt
f(x)=x. Wieder von R->R.
Dann ist die Wahl von F1 und F2 aber schon wichtig um Aussagen über die Messbarkeit treffen zu können, oder? Da z.b das Urbild vom Intervall (1,2) wieder (1,2) ist und ich nicht weiss ob (1,2) in F1 liegt, falls (1,2) in F2 liegen würde.

Man nimmt aber stillschweigend an, dass F1 die Borel sigma Algebra ist(Sigma Algebra, das von allen offenen Mengen erzeugt wird?).
Was ist dann die Lebesque sigma Algebra?

Ist das so richtig?

29.09.2013, 22:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Fluffis
Betrachtet man jetzt
f(x)=x. Wieder von R->R.
Dann ist die Wahl von F1 und F2 aber schon wichtig um Aussagen über die Messbarkeit treffen zu können, oder?

Ja klar ist das da wichtig. Aber wieso verwendest du das Wörtchen "aber", als hätte irgendjemand etwas anderes behauptet? Dass die Sigma-Algebra gleichgültig ist, bezog sich nur auf die konstante Funktion, um die es ja eigentlich auch nur in diesem Thread ging!

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