Schaltalgebra, Termvereinfachung

28.09.2013, 14:18

felix.

Schaltalgebra, Termvereinfachung

Meine Frage:

Hallo. Ich weiß nicht, wie ich die folgende Vereinfachung machen soll:

$\begin{eqnarray*} ab+\overline{a}c+bc = ab+\overline{a}c \end{eqnarray*}$

Man musste irgendwie Erweitern, um vereinfachen zu können. Ich weiß jedoch nicht mehr wie. Mit dem Addieren von Nullprodukten, etwa $\begin{eqnarray*} +a\overline{a}b+a\overline{a}c \end{eqnarray*}$ , habe ich es schon versucht. Es hat jedoch nicht funktioniert.

Mit Wertetablle/KV-Diagramm ist es ja einfach.

Weiß jemand welchen Ansatz man machen muss?

Meine Ideen:
s.o.

28.09.2013, 22:00

jimmyt

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Das $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ Zeichen entspricht dem exklusiven ODER (XOR). Das Komplement (Gegenteil) davon ist die Äquivalenz.
Also:

$\begin{eqnarray*} \neg (a+b) = \neg a \iff \neg b \end{eqnarray*}$

Wie wäre es mit folgendem:

$\begin{eqnarray*} ab + \overline{a}c + bc \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =ab + \overline{\overline{\overline{a}c + bc}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =ab + \overline{ \overline{\overline{a}c} \iff \overline{bc}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =ab + \overline{ a \lor \overline{c} \iff \overline{b} \lor \overline{c}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =ab + \overline{a}c \end{eqnarray*}$

28.09.2013, 22:54

felix.

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Ich benutze eigentlich folgende Konvention:

$\begin{eqnarray*} ab := a\wedge b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a+b := a\vee b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\oplus b := \text{XOR}(a,b) = a\overline{b}+b\overline{a} \end{eqnarray*}$

29.09.2013, 10:31

jimmyt

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Ok, dann stimmt mein Vorschlag natürlich nicht.
Aber das Prinzip der Doppel-Negierung und De Morgan trotzdem anwenden.

Ich komme dann irgendwann auf das Zwischenergebnis:

$\begin{eqnarray*} (a \land b) \lor (c \land \neg a \lor b) \end{eqnarray*}$

Daraus dann das hier machen (erklären):

$\begin{eqnarray*} ab + \overline{a}c \end{eqnarray*}$

29.09.2013, 16:34

jimmyt

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Zitat:

Original von jimmyt
$\begin{eqnarray*} (a \land b) \lor (c \land \neg a \lor b) \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} ab + \overline{a}c \end{eqnarray*}$

Wie wäre es damit:
Wenn $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ , dann ist der 1. Term in jedem Fall false und der 2. Term hängt von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ab.
Wenn $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ , dann hängt der 1. Term von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ab. Wenn $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ ist ist alles true, wenn $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \neg a = 1 \end{eqnarray*}$ und der 2.Term hängt von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ab.
Also in beiden Fällen spielt das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ im 2. Term keine Rolle. Deswegen kann man es weglassen.

Wie klingt das?

Ich weiß selber nicht, ob das stimmt. Vielleicht fehlen da noch ein paar Klammern.
Was meinst du? Was bindet denn stärker: logisches UND oder logisches ODER? Augenzwinkern

29.09.2013, 19:17

felix.

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Inzwischen habe ich eine Lösung gefunden, die mir ästhetisch und klar genug erscheint:

$\begin{eqnarray*} &&ab+\overline{a}c+bc &&= ab+\overline{a}c+bc(a+\overline{a}) &&= ab+\overline{a}c+abc+\overline{a}cb &&= ab(1+c) + \overline{a}c(1+b) &&= ab+\overline{a}c \end{eqnarray*}$

Manchmal muss man es umgedreht machen, wie mir gerade aufgefallen ist:

$\begin{eqnarray*} &&a+\overline{a}b &&= a(1+b)+\overline{a}b &&= a+ab+ \overline{a}b &&= a+b(a+\overline{a}) &&= a+b \end{eqnarray*}$

Danke für die Mühe.

bye

30.09.2013, 13:37

jimmyt

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Edit (mY+): Vollquote entfernt.

Genial.
Deine Lösung gefällt mir richtig gut, klar und deutlich, induktiv und verständlich. Die Vorgehensweise erinnert ein wenig, obwohl es natürlich nicht dasgleiche ist, an die vollständige Induktion. Deine Lösung ist besser als mein Vorschlag. Augenzwinkern

Ich versuche gerade deine Vorgehensweise zu verallgemeinern.
Also im Prinzip schaffst du eine Erweiterung durch einen logischen UND Term mit dem Teil, den du streichen möchtest (hier $\begin{eqnarray*} bc \end{eqnarray*}$ ), und einem ODER Ausdruck von den beiden Sachen, die schon gegeben sind. Also hier $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{a} \end{eqnarray*}$ .
Und dann einfach auflösen mit Distributivgesetz. Kann man das so sagen?

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