Kurve in einer Ebene

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Jack Prince Auf diesen Beitrag antworten »
Kurve in einer Ebene
Meine Frage:
Hallo Leute,
ich habe folgende Kurve gegeben

und soll herausfinden, ob sie in einer Ebene liegt.

Meine Ideen:
Ich hab dazu die Formel



und ein Satz, der sagt, dass genau dann, wenn die Kurve in einer Ebene liegt.

Da ich ausgerechnet habe, ist das offensichtlich der Fall.

Ich habe mir das ursprünglich jedoch ohne die Formel überlegt:
Wenn eine Kurve in der Ebene liegt, dann muss es doch einen Vector geben, der immer senkrecht zur Kurve steht und unabhängig von t ist. Also


Der Kern dieser linearen Abbildung hängt jedoch immer von t ab und somit würde doch nur der Nullvektor senkrecht zur Kurve zu einer beliebigen Zeit t stehen.
Irgendwas hab ich also falsch gemacht.
Könnt ihr vielleicht helfen?
Vielen Dank schon einmal
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurve in einer Ebene?
Zitat:
Original von Jack Prince
Wenn eine Kurve in der Ebene liegt, dann muss es doch einen Vector geben, der immer senkrecht zur Kurve steht und unabhängig von t ist.

"Vektor" schreibt sich mit k.
Und nein, so würde die Aussage nur für Ebenen gelten, die durch den Ursprung gehen.
Für allgemeine Ebenen ist das Skalarprodukt eines Punktes aus der Ebene mit dem Normalenvektor konstant, aber nicht notwendigerweise Null. Siehe auch "Hessesche Normalform".
einfacher Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Ich hab eine Zusatzfrage

Man kann den Parameter eliminieren und bekommt x-y-z=4
Kann man den Parameter immer eliminieren,wenn die Kurve in einer Ebene liegt? smile

Bei rationalen Funktionen müßte es gehen. Oder?

Gruß
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Den Parameter? Du meinst ? Was meinst du mit "eliminieren"? Wie bist du auf gekommen?
einfacher Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich meine den Parameter t
eliminieren ist dann eine Darstellung ohne Parameter
oder nennt man das anders?

Ich hab erst mal umgestellt




Dann hier eingesetzt



und dann gemerkt,daß z auch gut passt

Jack Prince muß noch zeigen,daß der Nenner seiner Formel ungleich Null ist
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von einfacher Gast
eliminieren ist dann eine Darstellung ohne Parameter
oder nennt man das anders?

Die Bezeichnung passt schon, ich war nur vom Ergebnis irritiert.

Zitat:
Ich hab erst mal umgestellt

Woher kommt denn diese Gleichung?[/l]

Zitat:

Und woher kommt diese?

Zitat:
Dann hier eingesetzt

Und diese?

Zitat:

Und was hat das zu bedeuten?

Zitat:
und dann gemerkt,daß z auch gut passt

Darunter kann ich mir nichts vorstellen.

Du hast doch jetzt einfach nur ein paar Gleichungen untereinandergeschrieben verwirrt Nimmst du an, dass sie gelten (wenn ja, wieso?), oder folgerst du sie aus etwas anderem etc.?
 
 
einfacher Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben



Das ist aus meiner Sicht genau das gleiche wie





Die zweite Gleichung nach t^3 aufgelöst und in die erste eingesetzt usw

Ich hab`s halt mal probiert
und das kann man doch als Lösung durchgehen lassen smile

Die Frage ist ob das immer geht oder ist der Weg falsch?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, bei dir sind , und also die Komponenten von . Gut, damit geht dein Rechenweg auch.
einfacher Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schon mal gut Augenzwinkern

Die Frage ob das mit dem Eliminieren immer geht wenn die Kurve in einer Ebene liegt?
Kann man wohl nur vermuten

Außerdem frage ich mich,wie man





parallel verschieben kann,so daß die Ebene durch den Ursprung geht?
Ich glaube man kann einfach die Zahlen weglassen
Das würde die Kurve irgendwie als Ganzes verschieben aber ihre Form nicht ändern





Dann ginge das auch mit dem Kern
Nobundo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurve in einer Ebene?
Jack Prince

Ich würde sagen dein selbstüberleter Ansatz ist schon beinahe richtig du musst nur durch ersetzen und dann das Gleichungssystem lösen.

Gruß
Nobundo
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von einfacher Gast
Die Frage ob das mit dem Eliminieren immer geht wenn die Kurve in einer Ebene liegt?

Das muss immer gehen, denn eine ebene Kurve erfüllt für irgendein . Durch Ausmultiplizieren des Skalarproduktes erhält man eine Ebenengleichung wie du sie aufgestellt hast.

Zitat:
Außerdem frage ich mich,wie man





parallel verschieben kann,so daß die Ebene durch den Ursprung geht?

Man verschiebt entlang des berechneten Normalenvektor so weit, wie man es durch das Skalarprodukt berechnet hat.

Zitat:
Ich glaube man kann einfach die Zahlen weglassen

Das ist bei polynomiellen Einträgen natürlich auch möglich, wenn du mit "Zahlen" die konstanten Terme meinst.

Zitat:
Original von Nobundo
Ich würde sagen dein selbstüberleter Ansatz ist schon beinahe richtig du musst nur durch ersetzen und dann das Gleichungssystem lösen.

Das ginge auch, liefert einem aber nicht die Ebene, in welcher die Kurve liegt. Wie gesagt hätte er nur statt Null schreiben einsetzen müssen.
Jack Prince Auf diesen Beitrag antworten »

Hey danke Jungs.

sag mal wie kommt das denn eigentlich, dass das Skalarprodukt ne Konstante ergeben muss. Der Winkel zwischen 2 Vektoren ist doch dachte ich 90 ° groß, wenn sie senkrecht zueinander stehen.

LG
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Mal dir doch mal ein Bild (z.B. eine Gerade im ).
Die Projektion eines Vektors aus der Ebene auf den Normalenvektor habe immer die gleiche Länge. Du betrachtest ja den "Pfeil", der vom Ursprung auf einen Punkt der Ebene zeigt.

Und wiederhol unbedingt die Ebenengleichungen aus der Schulmathematik!
Jack Prince Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja na klar. Mit der Koordinatengleichung einer Ebene im R^3 ist das ja ganz klar.
Dank dir.
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