Kombinatorik-Ungleichung zeigen

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Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik-Ungleichung zeigen
Meine Frage:
Hallo Leute, komme hier bei folgender Aufgabe nicht sonderlich weit:

Let k and n be natural numbers such that . show that



Meine Ideen:
naja der assi hat gesagt man muesse lediglich die Definitionen verwenden und einsetzen. ich hab bis jetzt folgendes gemacht





das war es dann aber auch schon. Hab mir noch überlegt mit k! zu multiplizieren, so liesse sich noch bisschen was wegkürzen.
Hat jemand einen Tipp?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen durch umformen
Schreibe besser



dann sieht man, dass in allen drei Brüchen im Zähler und Nenner jeweils k Faktoren stehen.

Danach dividiert man die Ungleichung durch , in der Mitte wird dabei im Zähler jeder Faktor durch n dividiert (!), und anschließend wird die gesamte Ungleichung noch mit k! multipliziert,
dabei wird der Zähler 1.2.3. ... .k im linken Bruch k-mal durch k dividiert.

Jetzt kann gut abgeschätzt werden.

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ist der rechte Teil der Doppelungleichung abgehakt. Zum linken Teil: Für gilt

,

was man durch äquivalente Umformung nachweisen kann. Diese Ungleichungen miteinander multipliziert (d.h. die jeweils linken Seiten miteinander, und die jeweils rechten Seiten miteinander) ergibt die gesuchte Abschätzung.
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Recht Herzlichen Dank!
Jetzt krieg ich das hin.

Echt super hier!

Grüsse Alfred
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dank den netten Hinweisen konnte ich mittlerweile die rechte Ungleichung zeigen.
Die Linke habe ich fast. Es fehlt - glaube ich - nur noch ein kleiner Schritt.

Ich betrachte zuerst die beiden Nenner.
Im linken habe ich gleiche Faktoren.
Im rechten (also ) hab ich auch k faktoren - alle bis auf einen kleiner als k.
Offensichtlich gilt

nun die Zähler.
Im rechten habe ich n-(n-k+1)= k Faktoren - alle bis auf einen kleiner als n.
Im linken habe ich k mal n-Faktoren.
Offensichtlich gilt:


Paradoxerweise gilt stimmt aber die linke Ungleichung in der Aufgabe trotzdem.
Ich muss das also irgendwie noch mit verbinden.
kann mir dabei bitte jemand helfen?
Ich bin sooooo nah dran.. traurig
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke nicht, dass du mit deinen Überlegungen weiterkommst. Aber oben hat HAL 9000 eigentlcih schon mehr oder weniger die Lösung gepostet. Einfach mal das machen, was er schreibt.
 
 
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig so?

für j= 1, ... , k

und dann alle einzeln vergleichen:



...
...



müsste stimmen!!

Tanzen

so nah dran ist trotzdem so weit weg! Hammer
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alfred Gäbeli
Richtig so?

für j= 1, ... , k

Ja, wobei du noch erkennen solltest, dass auf der rechten Seite jetzt tatsächlich der gewünschte Binomialkoeffizient steht.


Zitat:
Original von Alfred Gäbeli
und dann alle einzeln vergleichen:



...
...



müsste stimmen!!

Das müsstest du jetzt noch zeigen, dass jede dieser Ungleichungen gilt. Daher machst du das am besten mit allgemeinem j (kleiner gleich k, das ist wichtig hierbei!) und formst die Ungleichung, die HAL 9000 gepostet hatte, einfach so weit um, bis eine wahre Aussage da steht.
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

das ist jetzt etwas verwirrend. ich hab mich natürlich schon davon überzeugt dass alle diese Ungleichungen stimmen. Natürlich in naiver Manier (ich hab konkrete Zahlen eingesetzt).

Daher steht für mich da schon eine wahre Aussage.
Wie verifiziere ich das mathematisch?
Einfach die allg. (dh. die letzte Ungleichung) nach j auflösen?
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alfred Gäbeli
das ist jetzt etwas verwirrend. ich hab mich natürlich schon davon überzeugt dass alle diese Ungleichungen stimmen. Natürlich in naiver Manier (ich hab konkrete Zahlen eingesetzt).

Daher steht für mich da schon eine wahre Aussage.

Das muss dann schon lange nicht stimmen für alle (!) k, j und n. Sondern nur für diejenigen, die du eingesetzt hast.
Zitat:
Original von Alfred Gäbeli
Wie verifiziere ich das mathematisch?
Einfach die allg. (dh. die letzte Ungleichung) nach j auflösen?

Ja, das klingt gut. Um sicher zu sein, dass wir von derselben Ungleichung sprechen: Die aus dem Beitrag von HAL 9000.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alfred Gäbeli
ich hab mich natürlich schon davon überzeugt dass alle diese Ungleichungen stimmen. [...]

Daher steht für mich da schon eine wahre Aussage.
Wie verifiziere ich das mathematisch?

Du könntest Politiker werden mit dieser Floskel-Ansammlung: "Bin überzeugt, das es stimmt", "steht für mich eine wahre Aussage" usw.

Allerdings lässt du wenigstens im letzten Satz die Katze aus dem Sack: Dass du es nicht wirklich begründen kannst. Augenzwinkern

Zitat:
Original von HAL 9000
Für gilt

,

was man durch äquivalente Umformung nachweisen kann.

Es sind nur wenige dieser äquivalenten Umformungsschritte nötig:









Nun, und das sollte bei den vorausgesetzen richtig sein.
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

also




und k,n, j aus den Natürlichen Zahlen.

auflösen nach j; dann kommt

raus. das n kürzt sich weg.

HAL9000 sagte ja schon das j von 1 bis k läuft.
Das ist ja nichts überraschendes. und k kleiner gleich n ist sowieso voraussetzung.

Edit: nicht gesehen das HAL9000 wieder online ist.
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, der Tag war lange. Ich bin seit morgens 8 Uhr am Mathe machen und etwas ausgelaugt.
Vieleicht wäre es besser mir das Morgen nochmal anzusehen. Dennoch scheue ich mich nicht zu fragen, auch wenn ich scheinbar eher Politiker als Mathematiker bin. (ich studiere sowieso physik) LOL Hammer
Ich habe alle Schritte der Aufgabe verstanden. (also rein algebraisch)
Es ist einleuchtend, dass die Zahl (k-j)(n-k) grösser gleich null sein muss.
(gemäss Voraussetzungen)
was ich aber noch immer nicht verstehe:
Wieso zeigt die obige äquivalenzumformung dass die ungleichung



gilt.
Man sagt ja "es gibt keine dummen Fragen" aber trotzdem komme ich mir, langsam aber sicher, dumm vor, wenn ich bedenke wie genau ich mich in diese Aufgabe hineingedacht habe. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlt es aber gewaltig an Grundlagen, die eigentlich in der Schule behandelt wurden.

Zitat:
Original von Alfred Gäbeli
Es ist einleuchtend, dass die Zahl (k-j)(n-k) grösser gleich null sein muss.
(gemäss Voraussetzungen)
was ich aber noch immer nicht verstehe:
Wieso zeigt die obige äquivalenzumformung dass die ungleichung



gilt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Äquivalenzumformung
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Link.
Ich werde mir den morgen anschauen, durchlesen und dann hier wieder Rückmeldung geben.
Für heute ist Schluss.
Ich muss erstmal Frust wegschlafen.
Bis Morgen wieder, frisch mit Motivation.
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir nun den Wikipedia-Artikel durchgelesen.
Da stand nichts drin, was ich nicht schon wusste.

Danke nochmal für die Hilfe!
Alfred
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