Duale Paarung nicht entartet

01.10.2013, 11:40

Sus123

Duale Paarung nicht entartet

Meine Frage:
Hallo,

man kann laut meinem Skript mit Hilfe des Forsetzungssatzes (Also die Möglichkeit eine Abbildung auf einem Raum W auf einen größeren Raum V zu erweitern) beweisen, dass folgende Abbildung nicht entartet ist.

$\begin{eqnarray*} V \times V^{*} -> K, (v, d) |-> d(v) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe um ehrlich zu sein überhaupt keine Idee bzw. sehe einfach keinen brauchbaren Zusammenhang unglücklich

01.10.2013, 11:57

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Duale Paarung nicht entartet
Ist z.B. $\begin{eqnarray*} 0\neq v\in V \end{eqnarray*}$ gegeben, kannst du $\begin{eqnarray*} d(\lambda v)=\lambda \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ setzen. Dann ist zunächst $\begin{eqnarray*} d\in\operatorname{span}\{v\}^* \end{eqnarray*}$ .
Daraus kannst du aber folgern, dass es ein $\begin{eqnarray*} d\in V^* \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} d(v)\neq0 \end{eqnarray*}$ .

01.10.2013, 12:16

Sus123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Duale Paarung nicht entartet

Zitat:

Original von Che Netzer
Ist z.B. $\begin{eqnarray*} 0\neq v\in V \end{eqnarray*}$ gegeben, kannst du $\begin{eqnarray*} d(\lambda v)=\lambda \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ setzen. Dann ist zunächst $\begin{eqnarray*} d\in\operatorname{span}\{v\}^* \end{eqnarray*}$ .
Daraus kannst du aber folgern, dass es ein $\begin{eqnarray*} d\in V^* \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} d(v)\neq0 \end{eqnarray*}$ .

Hallo,

also zum einen, wenn ich d so setze wie du meintest, dann wäre die Abbildung doch ohnehin schon ungleich Null, wenn ich Lambda ungleich Null wähle, oder?

Wieso liegt d dann im Erzeugnis von v*? Und den Zusammenhang zum Fortsetzungssatz sehe ich auch nicht unglücklich

Sorry das ich so viele Fragen habe, aber diese Aufgabe bereitet mir große Probleme :/

01.10.2013, 12:34

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Duale Paarung nicht entartet

Zitat:

Original von Sus123
also zum einen, wenn ich d so setze wie du meintest, dann wäre die Abbildung doch ohnehin schon ungleich Null, wenn ich Lambda ungleich Null wähle, oder?

Du möchtest doch folgendes zeigen: Es gibt kein $\begin{eqnarray*} 0\neq v\in V \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} d(v)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} d\in V^* \end{eqnarray*}$ , oder?
Du startest also mit einem $\begin{eqnarray*} v\neq0 \end{eqnarray*}$ und willst irgendein $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} d(v)\neq0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wieso liegt d dann im Erzeugnis von v*?

Ich meine
$\begin{eqnarray*} \operatorname{span}\{v\}^*=\bigl(\operatorname{span}\{v\}\bigr)^*\,. \end{eqnarray*}$

01.10.2013, 13:26

Sus123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Duale Paarung nicht entartet

Zitat:

Original von Che Netzer
Du möchtest doch folgendes zeigen: Es gibt kein $\begin{eqnarray*} 0\neq v\in V \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} d(v)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} d\in V^* \end{eqnarray*}$ , oder?
Du startest also mit einem $\begin{eqnarray*} v\neq0 \end{eqnarray*}$ und willst irgendein $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} d(v)\neq0 \end{eqnarray*}$ .

Ok, die Idee verstehe ich. Aber dein Beweis steht nicht im Zusammenhang mit dem Forsetzungssatz oder sehe ich das falsch. (Kann es da überhaupt einen geben? Das wäre mir sehr wichtig zu wissen, weil ich schon lange darüber nachdenke wo es da einen gibt...)

Zitat:

Ich meine
$\begin{eqnarray*} \operatorname{span}\{v\}^*=\bigl(\operatorname{span}\{v\}\bigr)^*\,. \end{eqnarray*}$

Was ist (span{v})^*
Die zu v duale Basis? Falls ja, müsste man die Abbildung d die du da konstruiert hast nich so definieren:
$\begin{eqnarray*} x \in V d( \lambda x)=x, x=v d(x)= 0, x \neq v \end{eqnarray*}$

Aber wieso darf man sowas definieren? Könnte ich dann nicht auch sagen, sei d definiert durch:
d(x)=1 für alle x.

01.10.2013, 13:34

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Duale Paarung nicht entartet

Zitat:

Original von Sus123
Aber dein Beweis steht nicht im Zusammenhang mit dem Forsetzungssatz oder sehe ich das falsch.

Das siehst du falsch.
Formulier den besagten Satz doch mal.

Zitat:

Was ist (span{v})^*

Was der Stern über einem Vektorraum bedeutet, weißt du wohl. Und $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}\{v\} \end{eqnarray*}$ ist ein Vektorraum. Wo ist das Problem?

Zitat:

müsste man die Abbildung d die du da konstruiert hast nich so definieren:
$\begin{eqnarray*} x \in V d( \lambda x)=x, x=v d(x)= 0, x \neq v \end{eqnarray*}$

Dann wäre $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ nicht wohldefiniert.

Zitat:

Aber wieso darf man sowas definieren? Könnte ich dann nicht auch sagen, sei d definiert durch:
d(x)=1 für alle x.

Das wäre nicht linear.

01.10.2013, 13:56

Sus123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Duale Paarung nicht entartet

Zitat:

Aber dein Beweis steht nicht im Zusammenhang mit dem Forsetzungssatz oder sehe ich das falsch.
Das siehst du falsch.
Formulier den besagten Satz doch mal.

Ok:
Sei V ein K-Vektorraum und W $\begin{eqnarray*} W\subseteq V \end{eqnarray*}$ ein K-linearer Untervektorraum mit einer Abbildung
f: W -> S
Dann gibt es eine lineare Abbildung f':V->S die auf W gerade die gleichen Werte annimmt wie f
also f(x)=f'(x) für alle $\begin{eqnarray*} x \in W \end{eqnarray*}$

Zitat:

Was ist (span{v})^*

Was der Stern über einem Vektorraum bedeutet, weißt du wohl. Und $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}\{v\} \end{eqnarray*}$ ist ein Vektorraum. Wo ist das Problem?

Ah ok das soll also einfach der Dualraum zum Erzeugnis von v sein.

Ich versuch jetzt mal deinen Beweis in meinen Worten wiederzugeben und du sagst mir dann doch bitte ob ich das richtig (auch im Bezug auf den Fortsetzungssatz) verstanden habe:

Also zu einem gegebem v setze ich
$\begin{eqnarray*} d(\lambda v)= \lambda \end{eqnarray*}$

Dann ist d eine Abbildung auf dem 1-dimensionalem Untervektorraum
$\begin{eqnarray*} R= span \left\{ v\right\} \end{eqnarray*}$
Wegen dem Basisergänzungssatz kann ich aber auch eine Abbildung d' auf dem gesamten Raum V finden, die auf R mit d übereinstimmt. Da diese aber auf dem ganzem Raum definiert ist, ist d' gerade ein Element des Dualraums von V und damit eine Abbildung der gesuchten Art.

01.10.2013, 14:14

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Duale Paarung nicht entartet

Zitat:

Original von Sus123
Sei V ein K-Vektorraum und W $\begin{eqnarray*} W\subseteq V \end{eqnarray*}$ ein K-linearer Untervektorraum mit einer Abbildung
f: W -> S

Diese Abbildung sollte auch linear sein.

Zitat:

Also zu einem gegebem v

welches nicht Null ist.

Zitat:

Dann ist d eine Abbildung auf dem 1-dimensionalem Untervektorraum
$\begin{eqnarray*} R= span \left\{ v\right\} \end{eqnarray*}$

Eine lineare Abbildung.

Zitat:

Wegen dem Basisergänzungssatz kann ich aber auch eine Abbildung d' auf dem gesamten Raum V finden, die auf R mit d übereinstimmt.

Ihr nennt das "Basisergänzungssatz"?

Zitat:

Da diese aber auf dem ganzem Raum definiert ist, ist d' gerade ein Element des Dualraums von V und damit eine Abbildung der gesuchten Art.

Etwas genauer könntest du das noch ausführen, aber im wesentlichen war es das.

01.10.2013, 14:18

Su123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Duale Paarung nicht entartet

Zitat:

Wegen dem Basisergänzungssatz kann ich aber auch eine Abbildung d' auf dem gesamten Raum V finden, die auf R mit d übereinstimmt.

Ihr nennt das "Basisergänzungssatz"?

Nein, ich verwechsel nur die beiden Bezeichnungen immer. Ich spreche nach wie vor vom Fortsetzungssatz Augenzwinkern

Zitat:

Da diese aber auf dem ganzem Raum definiert ist, ist d' gerade ein Element des Dualraums von V und damit eine Abbildung der gesuchten Art.

Etwas genauer könntest du das noch ausführen, aber im wesentlichen war es das.[/quote]

In wie weit genauer? Meinst du wegen fehlender Bemerkungen, das die Abbildungen linear sind bzw. v ungleich Null?

01.10.2013, 14:19

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Duale Paarung nicht entartet

Zitat:

Original von Su123
In wie weit genauer? Meinst du wegen fehlender Bemerkungen, das die Abbildungen linear sind bzw. v ungleich Null?

Schreib explizit auf, was du gezeigt hast und wieso das zu zeigen war.

Neue Frage »

Antworten »

Duale Paarung nicht entartet

Verwandte Themen